3.3基本不等式学案
教学目标：（1）学会推导不等式ab?a?b，理解不等式的几何意义。 2 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题
a?b的推导及应用。 2教学难点：理解“当且仅当a?b时取等号” 的意义。
教学重点：基本不等式ab?教学过程：
如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大
会上作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？
设小直角三角形的两条直角边为a、b，
则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。
四个直角三角形的面积和为 。 4?S三角形?S正方形? < 。
思考1：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4?S三角形?S正方形) 基本不等式概念: 一般的,对于任意的实数a,b,有 ，当且仅当 时,等号成立. 特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b分别代替a,b,可得 。通常把上式写成
ab?a?b(a?0,b?0) 2思考2：第一个不等式是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式能不能直接利用不等式的性质直接推导呢?
a?b?ab ① 2 只需证 ? ② (同时平方)
要证②只需证 ?0 ③ (右边的项移到左侧)
证明: 要证
要证③只需证 (_____?_____)2?0 ④ 显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立.
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且a?0,b?0,
a?b是a,b的 ，叫做a,b的算术平均数， 2 ab是叫做a,b的 ，叫做a,b的几何平均数，
由基本不等式可得：a,b的等差中项 a,b的等比中项
特别的，当a?b时，a,b的等差中项等于a,b的等比中项。
练习：若a?0，则a??
1
1a 若ab?0，则?? 例1：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 解：设菜园的长为x，宽为y，则xy? ，篱笆的总长度表示为 ， 由
a?b?ab 可得x?y? ， 2abba当等号成立时，所用篱笆最短，此时x?___,y?___.
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少时面积最大？ 解：设菜园的长为x，宽为y，则x?y? ，篱笆的面积表示为 ，
由
a?b2?ab可得xy? ， 当等号成立时，面积最大，此时x?_____,y?_____.：
小结：（1）基本不等式 其中（a?0,b?0）特别的，当 时等号成立。 a,b的算术平均数是 ， a,b的几何平均数是 。
（2）两个实数a?0,b?0,
若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a?b成立。 作业：1. a,b是正数，则
a?b2ab2,ab,a?b三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．a?b2ab2?ab?a?b Ｂ．ab?a?b2ab2?a?b Ｃ．
2ab?ab?a?b Ｄ．2aba?ba?b2ab?a?b?2 2.Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+
1x有最小值，最小值是多少
3. 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？
4. 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
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