新人教版高中数学《基本不等式(1)》导学案

3.3基本不等式学案

教学目标:(1)学会推导不等式ab?a?b,理解不等式的几何意义。 2 (2)知道算术平均数、几何平均数的概念 (3)会用不等式求一些简单的最值问题

a?b的推导及应用。 2教学难点:理解“当且仅当a?b时取等号” 的意义。

教学重点:基本不等式ab?教学过程:

如图所示,这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大

会上作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗?

设小直角三角形的两条直角边为a、b,

则正方形的边长为 ,正方形的面积为 。

四个直角三角形的面积和为 。 4?S三角形?S正方形? < 。

思考1:当中间的小正方形面积为0的时候,此时直角三角形是 , (4?S三角形?S正方形) 基本不等式概念: 一般的,对于任意的实数a,b,有 ,当且仅当 时,等号成立. 特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b分别代替a,b,可得 。通常把上式写成

ab?a?b(a?0,b?0) 2思考2:第一个不等式是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式能不能直接利用不等式的性质直接推导呢?

a?b?ab ① 2 只需证 ? ② (同时平方)

要证②只需证 ?0 ③ (右边的项移到左侧)

证明: 要证

要证③只需证 (_____?_____)2?0 ④ 显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立.

概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且a?0,b?0,

a?b是a,b的 ,叫做a,b的算术平均数, 2 ab是叫做a,b的 ,叫做a,b的几何平均数,

由基本不等式可得:a,b的等差中项 a,b的等比中项

特别的,当a?b时,a,b的等差中项等于a,b的等比中项。

练习:若a?0,则a??

1

1a 若ab?0,则?? 例1:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短? 解:设菜园的长为x,宽为y,则xy? ,篱笆的总长度表示为 , 由

a?b?ab 可得x?y? , 2abba当等号成立时,所用篱笆最短,此时x?___,y?___.

(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少时面积最大? 解:设菜园的长为x,宽为y,则x?y? ,篱笆的面积表示为 ,

a?b2?ab可得xy? , 当等号成立时,面积最大,此时x?_____,y?_____.:

小结:(1)基本不等式 其中(a?0,b?0)特别的,当 时等号成立。 a,b的算术平均数是 , a,b的几何平均数是 。

(2)两个实数a?0,b?0,

若它们的积为定值,则它们的和有最 值,当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值,则它们的和有最 值,当且仅当a?b成立。 作业:1. a,b是正数,则

a?b2ab2,ab,a?b三个数的大小顺序是 ( ) A.a?b2ab2?ab?a?b B.ab?a?b2ab2?a?b C.

2ab?ab?a?b D.2aba?ba?b2ab?a?b?2 2.X>0,当X取何值时X+

1x有最小值,最小值是多少

3. 直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时,两直角边的和最小?最小值为多少?

4. 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?

2

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4