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＋
＝
111×（） ?22n?12n?111(1?) 22n?1n＝。 2n?1n17 由＝，解得n＝17.
2n?135经检验n＝17使原等式成立，所以n＝17.
变式1：小王利用计算机设计了计算程序，输入和输出的数据如下：
那么，当输入数据为8时，输出的数据是（ ） A.
8 61 B.
8 63 C.
8 65 D.
8 67变式 2： 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（ ）
A. 100，011
B. 011，100 C. 011，101
D. 101，110
第二节 整式
典例1 先化简，再求值：（a?b）
2＋（a?b）?（2a?b）－3a2，其中
a??2?3,b?3?2.。
点拨： 先运用乘法公式及多项式乘法化简，再代入计算。
解：原式?a?2ab?b?2a?ab?b?3a ?ab。 当a??2?3,b?222223?2.时，原式?(?2?3)(3?2)
??(3?2)(3?2)
＝－（3－4）
＝1。
变式1：已知x?4?0,求代数式x(x?1)?x(x?x)?x?7的值。
典例2 图（1）是一个边长为(m?n)的正方形，小颖将图（1）中的阴影部分拼成图（2）
的形状，由图（1）和图（2）能验证的式子是（ ）
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nmmparallelnmn
图（1） 图（2）
A.(m?n)?(m?n)?4mn B.(m?n)?(m?n)?2mn C.(m?n)?2mn?m?n D.(m?n)(m?n)?m?n
点拨： 根据两个图形中阴影部分的面积相同，得出两种计算面积的代数式的值相等，来验
证公式。
解：由题意得两图中阴影部分的面积相等，图（1）中，由勾股定理得空白部分正方
形的边长为
2222222222m2?n2，图（1）中阴影部分面积为
(m?n)2?(m2?n2)2?(m?n)2?(m2?n2),图（2）阴影部分面积为
1?2mn，所以(m?n)2?(m2?n2)?2mn，故选B。 2mn变式1： 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分
4?剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a?b?(a?b)(a?b) B.(a?b)?a?2ab?b
C.(a?b)?a?2ab?b D．a?ab?a(a?b)
222222222
典例3 有一列单项式：?x,2x,?3x,4x,…,?19x,20x.
(1)你能说出它们的规律是什么吗？
(2)写出第2008个单项式，
(3)写出第n个以及第（n+1）个单项式。
点拨： 代数式的规律探究题，需要经过观察、分析、类比、归纳等过程，进而由特殊到一
般发现其规律。
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解：(1)每个单项式的系数的绝对值与该单项式中x的指数相等，奇数项系数为负，
偶数项系数为正。
(2)2008x2008.
nn?1(3)当n为奇数时，第n个单项式为?nx，第(n?1)个单项式为(n?1)x当n为偶数时，第n个单项式为nx，第(n?1)个单项式为?(n?1)xnn?1，
。
变式1： 用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n
个图案中正方形的个数是__________。
变式2：将连续的自然数1至36按右图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意 圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a，用含有a的代数式表示这9?
个数的和为__________．
典例4：代数式3x2?4x?6的值为9，则x2?A．7 B．18
点拨： 体现的思想方法是整体代入法。
34x?6的值为（ ） 3 C．12 D．9
3变式1：当x?1时，代数式px?qx?1 的值为2005，则当x??1时，代数式px?qx?1的值为（ ）
A.－2004 B.－2005 C.2005 D.2004
a2?b2?ab的值。 变式2：设a?b??2，求
2典例5：把代数式ax2?4ax?4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a(x?2) B．a(x?2)
22 C．a(x?4) D．a(x?2)(x?2)
2点拨：分解因式常用的方法是：“先提再套”，还应从多项式的角度考虑，直到各因式都不能
继续分解为止。
2变式1：分解因式：2x?18?
变式2 ：把代数式xy?9x分解因式，结果正确的是（ ）
A. x(y?9)
22
B. x(y?3) D. x(y?9)(y?9)
2C. x(y?3)(y?3)
典例6：下列运算结果正确的是（ ）
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32①2x?x?x ② x?(x)?x ③(?x)?(?x)?x
35213633④(0.1)?10?2?1?10
A．①② B. ②④ C. ②③ D. ②③④
变式1：下列计算中错误的是（ ）
A.(?ab)?(?ab)??ab B.(?ab)?(?ab)?ab
32231818?C.(?a)?(?b)?ab D.?(?a)?(?b)??ab ??32236632239823323333
第三节 分式
x2?4典例1 （1）当x为何值时，分式2无意义？
x?x?2（2）当x的何值时，分式
x?1的值为零？
x2?2x?3A中，若B?0，则分式无意B点拨： 判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，在分式
义，若B?0，则分式缺一不可。
AA有意义，分式的值为零的条件是A?0且B?0，两者BBx2?42解：（1）要使分式2无意义，则需x?x?2?0。
x?x?2x2?4即当x?2或x??1时，分式2无意义。
x?x?2（2）要使分式变式1：已知分式变式2：若将分式
x?12的值为零，则需x?1?0，且x?2x?3?0，解得x??12x?2x?3x?5 ,当x≠______时，分式有意义；当x=______时，分式的值为0．
x2?4x?5a?b (a,b均为正数）中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍，则分 ab式的值为（ ）
11
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的
24
1a2?a1)?典例2 先化简，再求值：(1?，其中a?。 a?1a?12点拨： 在分式的混合运算中，除法运算要先变为乘法运算，分子，分母能分解因式的可先
分解因式再约分。
解：原式＝(1?1a?1)?2 a?1a?a。 9欢迎下载
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?aa?1? a?1a(a?1)?当a?1。 a?11时，原式＝－2. 2a?2a?1a?42变式1：求值：(2,其中a满足a?2a?1?0 ?2)?a?2aa?4a?4a?2111ba变式2：若??，则?＝ 。
baa?bab典例3 已知x?3y?0，求
2x?y?(x?y)的值.
x2?2xy?y2点拨： 根据分式乘除的运算法则，先将分式化简，再将x?3y?0转化为x?3y代入求值。
解：原式?2x?y?(x?y) 2(x?y)2x?y。 x?y6y?y
3y?y7y 2y?当x?3y时，原式? ? ＝
227 2变式1： 若x?3xy?4y?0，则x?2y= 。
2x?y变式2：若?1x12x?3xy?2y=___ ?3,则分式yx?2xy?y典例4 A玉米试验田是边长为a米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分；
B玉米试验田是边长为（a?1）米的正方形，两块试验田都收获了500千克玉米。 （1）哪个玉米试验田的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
点拨：要解决第（1）小问，可先利用正方形的面积公式分别求出其面积，即可求出各自的
单位面积产量，进而利用作差法比较它们的大小，对于第（2）小问，可以利用作商 的办法来解决。
2解：（1）A玉米试验田的面积是(a?1)米，单位面积产量是
25002千克∕米； 2
a?1
。
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