初二数学平行线难题训练

4.(2014春?雁塔区校级期中)如图,点D、点E分别在△ABC边AB,AC上,∠CBD=∠CDB,DE∥BC,∠CDE的平分线交AC于F点. (1)求证:∠DBF+∠DFB=90°;

(2)如图②,如果∠ACD的平分线与AB交于G点,∠BGC=50°,求∠DEC的度数. (3)如图③,如果H点是BC边上的一个动点(不与B、C重合),AH交DC于M点,∠CAH的平分线AI交DF于N点,当H点在BC上运动时,变化?如果变化,说明理由;如果不变,试求出其值.

的值是否发生

【分析】(1)根据DE∥BC,得到∠EDB+∠DBC=180°,再利用角平分线的性质,即可解答; (2)根据FD⊥AB,∠BGC=50°,得到∠DHG=40°,利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD=50°,再根据DF平分∠EDC,CG平分∠ACD,得到∠EDC=2∠FDC,∠ACD=2∠HCD,得到∠EDC+∠ACD=2(∠FDC+∠HCD)=100°,利用三角形内角和为180°,∠DEC=180°﹣(∠EDC+∠ACD)=180°﹣100°=80°.

(3)不变,根据∠DMH+∠DEC=2(∠ADF+∠DAN),∠ANF=∠ADF+∠DAN,即可解答. 【解答】解:(1)如图1,

∵DE∥BC,

∴∠EDB+∠DBC=180°,

∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°, ∵∠CDB=∠DBC,∠EDF=∠FDC, ∴2∠FDC+2∠CDB=180°, ∴∠FDC+∠CDB=90°, ∴FD⊥BD,

∴∠DBF+DFB=90°. (2)如图2,

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∵∠BGC=50°,FD⊥BD, ∴∠DHG=40°,

∴∠FDC+∠HCD=40°,

∵DF平分∠EDC,CG平分∠ACD, ∴∠EDC=2∠FDC,∠ACD=2∠HCD,

∴∠EDC+∠ACD=2(∠FDC+∠HCD)=80°,

∴∠DEC=180°﹣(∠EDC+∠ACD)=180°﹣80°=100°. (3)不变,如图3,

∵∠DMH+∠DEC=2(∠ADF+∠DAN),∠ANF=∠ADF+∠DAN, ∴

=

=2.

【点评】本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理,解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系.

5.如图所示,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=7,BD=3,△ABD的面积为12,求△ACE的面积.

【分析】根据两平行线间的距离相等,可知两个三角形的高相等,所以根据△ABD的面积可求出高,然后求△ACE的面积即可.

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【解答】解:在△ABD中,当BD为底时,设高为h, 在△AEC中,当AE为底时,设高为h′, ∵AE∥BD, ∴h=h′,

∵△ABD的面积为12,BD=3, ∴h=8,

∴△ACE的面积为:

=28.

【点评】本题考查了两平行线之间的距离,解决本题的关键是根据两平行线间的距离相等求出高.

6.(1)如图①,如果直线l1∥l2,那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗?为什么? (2)如图②,平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD,BC和B′C′在同一直线上,这两个平行四边形的面积相等吗?为什么?

【分析】(1)△ABC和△A′BC的底边都为BC,由于平行线间的距离处处相等,所以△ABC和△A′BC的BC边上的高相等,所以△ABC和△DBC的面积相等.

(2)平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD,四边形ABCD为平行四边形,所以AD∥BC,由于平行线间的距离处处相等,所以平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D的高相等,即可解答. 【解答】解:(1)相等; ∵L1∥L2,

∴L1,L2之间的距离是固定的,

∴△ABC和△A′BC的BC边上的高相等, ∴△ABC和△A′BC的面积相等; (2)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,

∴AD和BC之间的距离是固定的, ∵BC和B′C′在同一直线上,

∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D公共边AD边上的高相等, ∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D面积相等. 【点评】此题主要考查了平行线间的距离.解决本题的关键是明确平行线间的距离处处相等.

7.(2016春?平定县期末)如图,已知直线l1∥l2,l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D,点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=∠3.

(1)若点P在图(1)位置时,求证:∠3=∠1+∠2;

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(2)若点P在图(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;

(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明.

【分析】此题三个小题的解题思路是一致的,过P作直线l1、l2的平行线,利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角,然后结合这些等角和∠3的位置关系,来得出∠1、∠2、∠3的数量关系.

【解答】证明:(1)过P作PQ∥l1∥l2, 由两直线平行,内错角相等,可得: ∠1=∠QPE、∠2=∠QPF; ∵∠3=∠QPE+∠QPF, ∴∠3=∠1+∠2.

(2)关系:∠3=∠2﹣∠1; 过P作直线PQ∥l1∥l2,

则:∠1=∠QPE、∠2=∠QPF; ∵∠3=∠QPF﹣∠QPE, ∴∠3=∠2﹣∠1.

(3)关系:∠3=360°﹣∠1﹣∠2. 过P作PQ∥l1∥l2;

同(1)可证得:∠3=∠CEP+∠DFP; ∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°, ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°, 即∠3=360°﹣∠1﹣∠2.

【点评】此题主要考查的是平行线的性质,能够正确地作出辅助线,是解决问题的关键. 8.(2016春?滑县期中)如图所示,已知AB∥CD,分别探究下面图形中∠APC,∠PAB,∠PCD的关系,请你从四个图形中任选一个,说明你所探究的结论的正确性. ①结论:(1) ∠APC+∠PAB+∠PCD=360° (2) ∠APC=∠PAB+∠PCD (3) ∠PCD=∠APC+∠PAB

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