4．（2014春?雁塔区校级期中）如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点． （1）求证：∠DBF+∠DFB=90°；
（2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数． （3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
的值是否发生
【分析】（1）根据DE∥BC，得到∠EDB+∠DBC=180°，再利用角平分线的性质，即可解答； （2）根据FD⊥AB，∠BGC=50°，得到∠DHG=40°，利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD=50°，再根据DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=100°，利用三角形内角和为180°，∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣100°=80°．
（3）不变，根据∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，即可解答． 【解答】解：（1）如图1，
∵DE∥BC，
∴∠EDB+∠DBC=180°，
∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°， ∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC， ∴2∠FDC+2∠CDB=180°， ∴∠FDC+∠CDB=90°， ∴FD⊥BD，
∴∠DBF+DFB=90°． （2）如图2，
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∵∠BGC=50°，FD⊥BD， ∴∠DHG=40°，
∴∠FDC+∠HCD=40°，
∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD， ∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，
∴∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=80°，
∴∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣80°=100°． （3）不变，如图3，
∵∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN， ∴
=
=2．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．
5．如图所示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面积为12，求△ACE的面积．
【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可．
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【解答】解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h， 在△AEC中，当AE为底时，设高为h′， ∵AE∥BD， ∴h=h′，
∵△ABD的面积为12，BD=3， ∴h=8，
∴△ACE的面积为：
=28．
【点评】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是根据两平行线间的距离相等求出高．
6．（1）如图①，如果直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗？为什么？ （2）如图②，平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，BC和B′C′在同一直线上，这两个平行四边形的面积相等吗？为什么？
【分析】（1）△ABC和△A′BC的底边都为BC，由于平行线间的距离处处相等，所以△ABC和△A′BC的BC边上的高相等，所以△ABC和△DBC的面积相等．
（2）平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，由于平行线间的距离处处相等，所以平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D的高相等，即可解答． 【解答】解：（1）相等； ∵L1∥L2，
∴L1，L2之间的距离是固定的，
∴△ABC和△A′BC的BC边上的高相等， ∴△ABC和△A′BC的面积相等； （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，
∴AD和BC之间的距离是固定的， ∵BC和B′C′在同一直线上，
∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D公共边AD边上的高相等， ∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D面积相等． 【点评】此题主要考查了平行线间的距离．解决本题的关键是明确平行线间的距离处处相等．
7．（2016春?平定县期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
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（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
【解答】证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2， 由两直线平行，内错角相等，可得： ∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF， ∴∠3=∠1+∠2．
（2）关系：∠3=∠2﹣∠1； 过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPF﹣∠QPE， ∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2． 过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°， 即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键． 8．（2016春?滑县期中）如图所示，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性． ①结论：（1） ∠APC+∠PAB+∠PCD=360° （2） ∠APC=∠PAB+∠PCD （3） ∠PCD=∠APC+∠PAB
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