高等数学电子教案多元函数积分学

第八章 多元函数微分法及应用

教学内容

多元函数的概念,二元函数的极限和连续的概念,有界闭区域上连续函数的性质,偏

导数、全微分的概念, 全微分存在的必要条件和充分条件,复合函数、隐函数的微分法,方向导数和梯度的概念及其计算,空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线,二元函数的极值和条件极值的概念,取得极值的必要条件与充分条件, 极值的求法,拉格朗日乘数法,多元函数最值的简单应用。。

教学目的、要求

1.理解多元函数的概念,了解二元函数的极限与连续以及有界闭区域上连续函数的性

质。

2.理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必要条件和充分条件。 3.理解方向导数和梯度的概念,并掌握其计算方法。 4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求隐函数的偏导数和全导数。

6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,掌握它们的方程的求法。

7.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握二元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单函数的最大值和最小值,会解一些简单应用题。

重点与难点

1、重点:多元函数的概念,偏导数与全微分的概念,多元复合函数的求导法则,用拉

格朗日条件极值求最大值应用问题,方向导数与梯度。 2、难点:全微分的概念,多元复合函数的求导法则。

第一节 多元函数的基本概念

一、多元函数的概念

?是某一正数,(1) 邻域设P与点P0(x0,y0)是xoy平面上的一个点,0(x0,y0)距离小于?的点P(x,y)的全体,称为点P0的?邻域,记为U(P0,?),

22?(x,y)|(x?x)?(y?y)??. U(P0,?) ??P|PP?|??000??(2)区域

设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点.如果存在点P的某一邻域U(P)?E,则称P为E的内点.

E的内点属于E.如果点集E的点都是内点,则称E为开集.

22例如,E1?{(x,y)1?x?y?4} 即为开集.

如果点P的任一个邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也可以不属于E),则称P为E的边界点. E的边界点的全体称为E的边界.设D是开集.如果对于D内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D,则称开集D是连通的.连通的开集称为区域或开区域.

例如,{(x,y)|1?x2?y2?4}. 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如,{(x,y)|1?x2?y2?4}.

对于点集E如果存在正数K,使一切点P?E与某一定点A间的距离AP不超过K即AP?K对一切P?E成立, 则称E为有界点集,否则称为无界点集.例如, {(x,y)|1?x2?y2?4}. 有界闭区域

{(x,y)|x?y?0}, 无界开区域.

(3) 聚点

设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E的聚点. 说明:

内点一定是聚点;点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.例如,{(x,y)|0?x?y?1},

22(0,0) 是聚点但不属于集合.

例如,{(x,y)|x?y?1},边界上的点都是聚点也都属于集合. (4)n维空间

设n为取定的一个自然数,我们称n元数组(x1,x2,?,xn)的全体为n维空间,而每个n元数组(x1,x2,?,xn)称为n维空间中的一个点,数xi称为该点的第i个坐标. 说明:

n维空间的记号为R;n维空间中两点间距离公式 设两点为P(x1,

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