第八章 多元函数微分法及应用
教学内容
多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质，偏
导数、全微分的概念, 全微分存在的必要条件和充分条件，复合函数、隐函数的微分法，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的极值和条件极值的概念，取得极值的必要条件与充分条件, 极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数最值的简单应用。。
教学目的、要求
1.理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续以及有界闭区域上连续函数的性
质。
2.理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必要条件和充分条件。 3.理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。 4.掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求隐函数的偏导数和全导数。
6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，掌握它们的方程的求法。
7.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。
重点与难点
1、重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉
格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。 2、难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。
第一节 多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
?是某一正数，（1） 邻域设P与点P0(x0,y0)是xoy平面上的一个点，0(x0,y0)距离小于?的点P(x,y)的全体，称为点P0的?邻域，记为U(P0,?)，
22?(x,y)|(x?x)?(y?y)??. U(P0,?) ??P|PP?|??000??（2）区域
设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．如果存在点P的某一邻域U(P)?E，则称P为E的内点.
E的内点属于E.如果点集E的点都是内点，则称E为开集.
22例如，E1?{(x,y)1?x?y?4} 即为开集．
如果点P的任一个邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E），则称P为E的边界点． E的边界点的全体称为E的边界．设D是开集．如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的．连通的开集称为区域或开区域．
例如，{(x,y)|1?x2?y2?4}. 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如，{(x,y)|1?x2?y2?4}.
对于点集E如果存在正数K，使一切点P?E与某一定点A间的距离AP不超过K即AP?K对一切P?E成立， 则称E为有界点集，否则称为无界点集．例如, {(x,y)|1?x2?y2?4}. 有界闭区域
{(x,y)|x?y?0}, 无界开区域.
(3) 聚点
设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点. 说明：
内点一定是聚点；点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,{(x,y)|0?x?y?1},
22(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如,{(x,y)|x?y?1},边界上的点都是聚点也都属于集合． （4）n维空间
设n为取定的一个自然数，我们称n元数组(x1,x2,?,xn)的全体为n维空间，而每个n元数组(x1,x2,?,xn)称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标. 说明：
n维空间的记号为R;n维空间中两点间距离公式 设两点为P(x1,x2,?,xn), Q(y1,y2,?,yn),
n22|PQ|?(y1?x1)2?(y2?x2)2???(yn?xn)2.
特殊地当n?1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
n邻域：U(P ,?)?P|PP|??,P?R00??内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P(x,y)?D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z?f(x,y)（或记为z?f(P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数． 当n?2时，n元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念. 例1：求f(x,y)?arcsin(3?x2?y2)x?y2的定义域.
2222???2?x?y?4?3?x?y?1解:? ?? 22???x?y?x?y?0所求定义域为 D?{(x,y)|2?x2?y2?4,x?y2}. （6）多元函数z?f(x,y)的图形
设函数z?f(x,y)的定义域为D，对于任意取定的P(x,y)?D，对应的函数值为
z?f(x,y)，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)，
当x取遍D上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z)|z?f(x,y),(x,y)?D}，这个点集称为二元函数的图形.
二、多元函数的极限
定义1 设函数z?f(x,y)的定义域为D,P如果对于任意给定的正数0(x0,y0)是其聚点，
?，总存在正数?，使得对于适合不等式0?|PP0|?(x?x0)2?(y?y0)2??的一切点，
都有|f(x,y)?A|??成立，则称A为函数z?f(x,y)当x?x0，y?y0时的极限， 记为 limf(x,y)?A （或f(x,y)?A(??0)这里??|PP0|
x?x0y?y0说明：
（1）定义中P?P（2）二元函数的极限也叫二重极限limf(x,y); 0的方式是任意的；
x?x0y?y0（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2 求证 lim(x2?y2)sinx?0y?01?0 22x?y