有理数的乘方和混合运算(基础)

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有理数的乘方、混合运算及科学记数法(基础)

撰稿:吴婷婷 审稿:常春芳

【学习目标】

1.理解有理数乘方的定义;

2. 掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算; 3. 进一步掌握有理数的混合运算. 4. 会用科学记数法表示大数. 【要点梳理】

要点一、有理数的乘方

定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power).

即有:aa???a?an.在a中,a叫做底数, n叫做指数.

nn个要点诠释: (1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果. (2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.

1

(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是5,指数1通常省略不写. 要点二、乘方运算的符号法则

(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,如 a≥0.

要点诠释:

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.

(2)任何数的偶次幂都是非负数. 要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 要点诠释:

(1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算;

(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.

(3)在运算过程中注意运算律的运用. 要点四、科学记数法

把一个大于10的数表示成a?10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数,l≤|a|<10,n是正整数),这种记数法叫做科学记数法,如42000000=4.2?107. 要点诠释:

(1)负数也可以用科学记数法表示,“?”照写,其它与正数一样,如-3000=?3?10; (2)把一个数写成a?10形式时,若这个数是大于10的数,则n比这个数的整数位数少

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1.

【典型例题】

类型一、有理数乘方

【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】

1.计算:

(1)(?4) (2)?43 (3)(?3) (4)?34

34333322(2?3)(5) (8)2?3 () (6) (7)

55【答案与解析】

3(?4)?(?4)?(?4)?(?4)??64; (1)

(2)?4??4?4?4??64;

4(?3)?(?3)?(?3)?(?3)?(?3)?81; (3)

3(4)?3??3?3?3?3??81;

43333327((5)5)?5?5?5?125;

333?3?327(6); ??555(2?3)?6?36; (7)

(8)2?3?2?9?18

【总结升华】(?a)与?a不同,(?a)?(?a)表示a的n次幂的相反数.

举一反三:

n222nn(?a)???n个na,而?a??aa??n个a(-5)与-5的异同. 【变式】比较

【答案】相同点:它们的结果相同,指数相同;

33(-5)表示-5的3次方,即(-5)×(-5)×(-5)=-125,而-5表示5的3次方的相不同点:

反数,即-5=-(5×5×5).因此,它们的底数不同,表示的意义不同. 类型二、乘方的符号法则

2.不做运算,判断下列各运算结果的符号.

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?5?72420092010

(-2),(-3),(-1.0009),??,-(-2)

?3?【思路点拨】理解乘方的意义,掌握乘方的符号法则.

724

【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得:(-2)运算的结果是负;(-3)运算的结果为正;(-1.0009)

2009

5?5?2010

运算的结果是负;??运算的结果是正;-(-2)运算的结果是负.

?3?5【总结升华】“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负. 类型三、有理数的混合运算

【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题1】

??3.计算:(1)?1-?1-0.5?????2--32??????1?3????

1?3?2???3??

?6?1132011(3)(1??2.75)???24????1???2

38(2)?14?(4)

【答案与解析】

1??0.1?563?1??0.2?2??23?3

17?(?7)??; 661117法二:原式=(1?1??)?(2?9)??(?7)??

23661135(2)原式??1??? 2??27??1-?29=-????6?664111(3) 原式=(?-)?(-24)-1-8=-32-3+66-9=22

38411(4) 原式=???8?3=-1000-25+11=-1014

?0.0010.04(1)法一:原式=(1?)?(?7)?【总结升华】有理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提. 举一反三:

【变式】计算:(1)?1?(1?0.5)??[2?(?3)]

4132?1?(2)(?2)?(?4)????12

?2?42【答案】原式??1??115?1?1??(2?9)??1??(?7)??1??7?5 ?666?2?3 word完美格式

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原式?16?(?4)?

类型四、科学记数法

111?1??16???1??2 4444. 用科学记数法表示:

(1)3870000000;(2)3000亿;(3)?287.6 【答案与解析】(1)把3870000000移动9位得到的,即把原数缩小到

写成a?10时,a?3.87,它是将原数的小数点向左

n193870000000?3.87?10,所以; 910n(2)3000亿=300 000 000 000,把3000亿写成a?10时,a?3,n的值应比 300 000 000 000的整数位少1,因此 n?11,所以3000亿=3?10;

(3)?287.6写成a?10时,“-”照写,其它和正数一样,所以?287.6??2.876?10. 【总结升华】带有文字单位的数先变为原数,再写成a?10形式,n的确定:n比这个数的整数位数少1. 举一反三:

【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据,本市常住人口760.57万人,其中760.57万人用科学记数法表示为 ( ) A.7.605 7×10人 B.7.605 7×10人 C.7.605 7×10人 D. 0.760 57×10人 【答案】B

5. 把下列用科学记数法表示的数转化成原数.

(1)3.14?10; (2)?1.732?10; (3)1.392?10千米 【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用 (1)3.14?10?3140;

(2)?1.732?10??17320000; (3)1.392?10千米=1392000千米.

【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数,方法简单:n是几就将a?10中a的小数点向右移动几位. 类型五、探索规律

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