自适应滤波LMS算法及RLS算法及其仿真.

e(n)=d(n)-y(n) (2—4)

自适应滤波器就是根据误差序列8(行)按照某种准则和算法对其系数w(n)进行调整,最终使自适应滤波器的目标(代价)函数达到最小,即最佳滤波状态。按照均方误差(MSE)准则所定义的目标函数是

F(e(n))=ξ(n)=E[e2(n)=E[d2(n)-2d(n)y(n)+y2(n)] (2-5)

将式(2—3)代入上式,得到

ξ(n)=E[d2(n)-2E[d(n)wT(n)x(n)] +E[wT(n)x(n)xT(n)w(n)] (2-6) 固定滤波器系数,则目标函数(2.6)可写为 ξ(n)= ξ=E[d2(n)]-2wT p+wT w (2.7)

T

式中,R=E[x(n)x (n)是输入信号的自相关矩阵; P=E[d(n)x(n)]是期望信号与输入信号的互相关矢量。

假设输入自相关矩阵R为非奇异的,当R与P均已知时,将式(2.7)对W 求导数,并令其等于零,可得到使目标函数最小的最佳滤波参数W。为

W。=R-1P (2-8)

这个解称为维纳解,即最佳滤波参数值。从式(2.7)可以看出,自适应滤波器的目标函数是滤波参数W的二次函数,因此形成了一个多维的超抛物曲面,二维时好像是一个碗状的曲面且具有唯一的碗底最小点。这个多维的超抛物曲面通常称之为自适应滤波器的误差性能曲面。位于该曲面上的某一点,经过自适应调节过程,可以朝碗底最小方向移动,最终到达最小点。最速下降法就是实现这种从初始值到最佳值搜索的一种优化技术,它利用梯度信息分析白适应滤波性能和最佳滤波状态,避免了对输入信号自相关矩阵R直接求逆。可以想象,沿着ξ减小的方向调整权值W,应该可以找到最佳值W。,因为梯度的方向是{增长最快的方向,所以负的梯度方向就是ξ减少最快的方向,这样,就可以采用如下的递推公式来调整W以寻找W。:

(2-9)

式中,▽(n)代表珂时刻孝的梯度,是一个M×1维的矢量,这里M为滤波器滤波权系数的数目;u是一个正实常数,通常被称为步长或步长因子。根据梯度定义,▽(n)可以写成:

将式(2.7)对W取偏导,可以得到:

将式(2—11)代入式(2-9)可得到最速下降法的递推公式:

有关最速下降法的收敛性,这里只给出其结果。当最速下降法满足下面条件时是收敛的: 0<μ<λmax 式中,λ

max

是自相关矩阵R的最大特征根

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2.1.2最小均方算法

如上节所述,要使用最速下降法,就要知道均方误差性能函数的梯度的精确值,见式(2—11),这就要求输入信号x(n)和期望信号d(n)平稳,并且要求它们的二阶统计特性已知。而这是相当复杂的,很多情况下它们是未知的或不完全知道的,因此一般采用梯度的估计值▽(n)来代替梯度▽(n),即

最小均方(LMS)算法就是使用瞬时输出误差功率的梯度▽ E[e2(n)]作为 均方误差梯度▽ E[e2(n)]的估计值,也就是令

将式(2—15)代入式(2-14),有

式(2.16)就是LMS算法的递推公式。

自适应LMS算法简单,既不需要计算输入信号的相关函数,又不需要 求矩阵的逆,因而得到了广泛应用。但是,由于LMS算法采用梯度矢量的 瞬时估计,它有很大的方差,以至不能获得最优滤波性能。下面给出完整 的算法步骤:

有关参量:M——滤波器抽头数;

μ——步长;0<μ<(MPin)-1,Pin=E[x1(n)]2 初始条件:w(O)=0或者由先验知识确定 计算步骤:对于H=1,2,? (1)取x(n),d(n)

(2)滤波y(n)=WT(n)x(n)

(3)估计误差e(n)=d(n)-y(n)

(4)更新权向量w(H+1)=w(n)+μe(n)x(n)

当滤波器的输入信号为有色随机过程时,特别是输入信号为高度相关的情况,大多数自适应滤波算法的收敛速度都要下降,对于上述典型LMS算法。此问题更加突出。为了提高收敛速度,相继提出了多种改进的算法。下面给出几种改进的权值递推公式:

(1)归一化LMS算法:

式中,0<μ<1为控制失调的固定收敛因子;γ是为了避免X(n)x(n)过小而导致步长值太大而设置的正常数。

T

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(2)简化的LMS算法:

(3)MLMS算法:

以上这几种改进LMS算法中,前两种都是交步长方法,后一种采用的是改变梯度估值的方法。除了这几种方法以外,还有很多改进的算法,比如变换域LMS算法,该算法适用于输入信号具有高度相关性的情况下;频域LMS算法,该算法与经典梯度下降法相比较有着更好的收敛性;分块LMS算法,与其它方法相比该算法计算量大为减少;最小高阶均方(LMK)算法,该算法是LMS算法的扩展,或者说LMS算法是该算法的特例,当系统噪声为非高斯分布时,LMK算法要比LMS算法收敛精度高;QR分解LMS算法,该算法适用于横向延迟线抽头数目比较小的情况。其它方法这里不再列举。

2.2递归最小二乘自适应滤波器

最小二乘(LS)法是一种典型的有效的数据处理方法,既可用于静态系统,又可用于动态系统:既可用于线性系统,又可用于非线性系统;既可用于离线估计,又可用于在线估计。递归最小二乘(Recursive Least Square简写RLS)是最小乘法的一种快速算法,它包含时间递归最小二乘(TRLS)算法和阶数递归最小二乘(ORES)算法两方面内容,一般前者适用于动态系统辨识和在线估计,后者适用于静态系统辨识和离线估计。与LMS算法相比,RLS算法有着非常快的收敛速度。

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图2-2自适应RLS算法

采用RLS算法的自适应滤波器如图2-2所示。输入信号{x(n)},含有N个已知样本{x(1), x(2), x(3)…x(N)},期望输出为{d(n)}={d(1),d(2),…,d(N))。滤波器输出为

M为滤波器长度,且M≤N。 误差信号为

e(n)=d(n)-y(n) (2-23)

按照最小平方准则,设计滤波器目标函数为

将式(2-22)代入式(2—24)得到

定义如下参量:

为确定性自相关函数,表示输入信号在抽头k与抽头m之间两信号的相关性:

8

为确定性互相关函数,表示期望响应与在抽头K输入信号之间的互相关性:

为期望响应序列的能量。

将式(2-26)~(2-28)代入式(2.25),目标函数可写为

因此有

令式(2-30)等于零,得到

把它简化成矩阵形式,有

式中,w(n)为M×1维最小平方估计的滤波器系数矢量,即

Ф(n)为延迟线抽头输入信号的确定性自相关函数,是一个M×M维矩阵即

θ(n)为脉冲响应序列与输入信号之间的确定性互相关函数M×1维矢量,即

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