3.3.1 两条直线的交点坐标学案
一．学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
二．重点、难点： 重点： 难点：
三．知识要点：
?Ax?B1y?C1?01. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组?1. 若方程
Ax?By?C?0?222组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
2. 方程?(A1x?B1y?C1)?(A2x?B2y?C2)?0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的交点. 四．自主探究 例题精讲：
【例1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.
（1）直线l1: 2x－3y+10=0 , l2: 3x+4y－2=0； （2）直线l1: nx?y?n?1, l2: ny?x?2n.
?2x?3y?10?0?x??2解：（1）解方程组? ， 得?.
3x?4y?2?0y?2??所以，l1与l2相交，交点是（－2，2）.
?nx?y?n?1（2）解方程组?，消y得 (n2?1)x?n2?n.
?ny?x?2n当n?1时，方程组无解，所以两直线无公共点，l1//l2.
当n??1时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l1与l2重合.
n2n?1当n?1且n??1，方程组有惟一解，得到x?，y?， l1与l2相交.
n?1n?1∴当n?1时，l1//l2；当n??1时，l1与l2重合；
n2n?1当n?1且n??1，l1与l2相交，交点是(,).
n?1n?1【例2】求经过两条直线2x?y?8?0和x?2y?1?0的交点，且平行于直线4x?3y?7?0的直线方程.
解：设所求直线的方程为2x?y?8??(x?2y?1)?0，整理为(2??)x?(1?2?)y???8?0.
∵ 平行于直线4x?3y?7?0， ∴ (2??)?(?3)?(1?2?)?4?0，解得??2. 则所求直线方程为4x?3y?6?0.
【例3】已知直线(a?2)y?(3a?1)x?1. 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限. 解：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为a(3x?y)?(?x?2y?1)?0.
13对任意实数a恒过直线3x?y?0与x?2y?1?0的交点为(,)，
5513 ∴ 直线系恒过第一象限内的定点为(,).
55所以，无论a为何值时直线总经过第一象限.
?Ax?B1y?C1?0点评：化为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0后，解方程组?1所得
Ax?By?C?0?222到的解，为何就是直线恒过的定点坐标？实质就是方程组的解能使方程成立，即点在直线上.
【例4】若直线l：y＝kx?3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的倾斜角的取值范围.
解：如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l：y＝kx?3必过点（0，－3）.当直线l过A点时，两直线的交点在x轴；当直线l绕C点逆
?3?03时针（由位置AC到位置BC）旋转时，交点在第一象限. 根据kAC?，?0?333得到直线l的斜率k>. ∴倾斜角范围为(30?,90?).
3点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.
五．目标检测 （一）基础达标
1．直线3x?5y?1?0与4x?3y?5?0的交点是（ ）. A. (?2,1) B. (?3,2) C. (2,?1) D. (3,?2) 2．直线l1:(2?1)x?y?2与直线l2:x?(2?1)y?3的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合
3．已知直线l1,l2的方程分别为 l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0，且l1与l2只有一个公共点，则（ ）.
ABAA A. A1B1?A2B2?0 B. A1B2?A2B1?0 C. 1?1 D. 1?2
A2B2B1B24．经过直线2x?y?4?0与x?y?5?0的交点，且垂直于直线x?2y?0的直线的方程是（ ）.
A. 2x?y?8?0 B. 2x?y?8?0 C. 2x?y?8?0 D. 2x?y?8?0 5．直线ax＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为（ ）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
6．直线l1：2x＋3y＝12与l2：x－2y＝４的交点坐标为 . 7．（07年上海卷.理2）若直线l1： 2x?my?1?0与直线l2：y?3x?1平行，则m? ．
（二）能力提高
8．已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.
9．试求直线l1:x?y?2?0关于直线l2:3x?y?3?0对称的直线l的方程.
（三）探究创新
10．已知直线方程为(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；
（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.