专题12 高考常见应用题
专题点拨
求解简单的应用性问题，可直接应用有关知识解题；用数学解决一些复杂的实际问题，除了掌握必要的数学基础知识外，还必须注重对以下能力的锻炼与培养．
1．阅读理解能力．首先能层次分明地阅读并理解数学语言表述的实际问题的详尽含义；其次能用准确的数学语言将题目的已知与求解翻译出来，并注意它的清晰性与完整性．
2．数学的迁移能力．即建立数学模型的能力．能从阅读中抽象出解决问题的数或形，并判断用哪些数学知识予以解决，将之转化为纯数学问题．
3．解决纯数学问题的能力．能经过综合分析，应用数学的基础知识和基本方法，完整解答所建立的数学模型．
4．常识能力．平时应关注生活中的点滴常识，对由数学模型解决的结果，进行检验、判断、修正，得到符合实际的解答．
5．表达能力．解一道主观应用题，就像是写一篇小论文，要做到论点明确，论据确凿，论证有力，有始有终，能自圆其说．特别注意在表述过程中，用简明的汉语与数学语言的互补，使语句流畅、自然而清晰．
解决复杂的应用题是一件难事，但又无可回避，只有通过不断地体验反思才能达到能力的培养与提高．解答应用题一般分为四个步骤：
1．阅读理解：分析背景材料，分清条件结论，把握数量关系； 2．建立模型：联想数学问题，运用数学语言，建立数学模型； 3．求解模型：运用思想方法，使用知识技能，求得数学结果； 4．还原实际：审视实际问题，验证运算结果，表述最后结论．
简单归结为：审题、化成数学问题、建立数学模型、进行推理运算、检验、作答． 例题剖析 一、函数型应用性问题
【例1】我国西部某省4A级风景区内居住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施．据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内(每月按30天计)每天的旅游人数f(x)与
第
x天近似地满足
(元)．
（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g(x)近似地满足
(1)求该村第x天的旅游收入p(x)（单位千元，
）的函数关系；
(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？ 【解析】(1)依据题意，有
=
(2) 10当1?x?22，x?N*时，
(当且仅当x?11时，等号成立) .
因此，
(千元) .
20当22?x?30，x?N*时，
.
考察函数于是，
的图像，可知在(22,30]上单调递减，
(千元) .
又1152?1116，所以，日最低收入为1116千元. 该村两年可收回的投资资金为
=8035.2(千元)=803.52(万元) .
因803.52万元?800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金.
二、三角函数型应用性问题
【例2】 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝asin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．
老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20）（44，12）．
（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；
（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？
【解析】（1）a＝12﹣4＝8，24﹣12＝12，
∴T＝48，ω，
由24+φ可得φ，
∴f（x）＝8sin（x）+20
＝8cosx+20，x∈[0，24]．
（2）由题意得DEF的解析式为：y＝8cos[（68﹣x）]+20，
由8cos[（68﹣x）]+20＝24，得x＝60，