2019年秋高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数学案 新人教A版

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由f′(x)>0得x<或x>2;

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由f′(x)<0得<x<2.

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∴x=2是f(x)的极小值点,不合题意,故m=2舍去. (2)当m=6时,f′(x)=(x-6)(3x-6), 由f′(x)>0得x<2或x>6; 由f′(x)<0得2<x<6.

∴x=2是f(x)的极大值,∴f(2)=2×(2-6)=32. 即函数f(x)的极大值为32.

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[探究问题]

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极值问题的综合应用 1.如何画出函数f(x)=2x-3x-36x+16的大致图象.

提示:f′(x)=6x-6x-36=6(x-x-6)=6(x-3)(x+2). 由f′(x)>0得x<-2或x>3,

∴函数f(x)的递增区间是(-∞,-2)和(3,+∞). 由f′(x)<0得-2<x<3, ∴函数f(x)的递减区间是(-2,3).

由已知得f(-2)=60,f(3)=-65,f(0)=16.

∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一). 2.当a变化时,方程2x-3x-36x +16=a有几解?

提示:方程2x-3x-36x+16=a解的个数问题可转化为函数y=a与y=2x-3x-36x+16的图象有几个交点的问题,结合探究点1可知:

(1)当a>60或a<-65时, 方程2x-3x-36x+16=a有且只有一解; (2)当a=60或a=-65时,方程2x-3x-36x+16=a有两解; (3)当-65<a<60时,方程2x-3x-36x+16=a三解.

已知函数f(x)=x3-3x+a(a为实数),若方程f(x)=0有三个不同实根,求实

数a的取值范围.

[思路探究] 求出函数的极值,要使f(x)=0有三个不同实根,则应有极大值大于0,

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宝宝宝宝牛牛牛你你你极小值小于0,由此可得a的取值范围.

[解] 令f′(x)=3x-3=3(x+1)(x-1)=0, 解得x1=-1,x2=1. 当x<-1时,f′(x)>0; 当-11时,f′(x)>0.

所以当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=2+a; 当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2+a. 因为方程f(x)=0有三个不同实根,

所以y=f(x)的图象与x轴有三个交点,如图.

??2+a>0,

由已知应有?

?-2+a<0,?

2

解得-2

母题探究:1.(改变条件)本例中,若方程f(x)=0恰有两个根,则实数a的值如何求解? [解] 由例题,知函数的极大值f(-1)=2+a,极小值f(1)=-2+a, 若f(x)=0恰有两个根,则有2+a=0,或-2+a=0, 所以a=-2或a=2.

2.(改变条件)本例中,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求实数a的范围. [解] 由例题可知,要使方程f(x)=0有且只有一个实根, 只需2+a<0或-2+a>0, 即a<-2或a>2.

[规律方法] 利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基本上画出函数的大致图象,从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f′(x)的部分图象如图1-3-9所示,则下面结论错误的是( )

图1-3-9

A.在(1,2)上函数f(x)为增函数

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宝宝宝宝牛牛牛你你你B.在(3,4)上函数f(x)为减函数 C.在(1,3)上函数f(x)有极大值

D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点 D [由图可知,当1<x<2时,f′(x)>0, 当2<x<4时,f′(x)<0, 当4<x<5时,f′(x)>0,

∴x=2是函数f(x)的极大值点,x=4是函数f(x)的极小值点,故A,B,C正确,D错误.]

2.已知函数f(x)=2x+ax+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )

【导学号:31062051】

A.(2,3) C.(2,+∞)

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B.(3,+∞) D.(-∞,3)

B [∵f′(x)=6x+2ax+36,且在x=2处有极值,

∴f′(2)=0,24+4a+36=0,a=-15,∴f′(x)=6x-30x+36=6(x-2)(x-3),由f′(x)>0得x<2或x>3.]

3.设函数f(x)=xe,则( ) A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点

D [令y′=e+x·e=(1+x)e=0,得x=-1.当x<-1时,y′<0;当x>-1时,

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y′>0.故当x=-1时,y取得极小值.]

4.已知函数f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是________.

[解析] f′(x)=3x+6ax+3(a+2), ∵函数f(x)既有极大值又有极小值, ∴方程f′(x)=0有两个不相等的实根, ∴Δ=36a-36(a+2)>0,

即a-a-2>0,解得a>2或a<-1. [答案] (-∞,-1)∪(2,+∞) 5.求下列函数的极值 (1)f(x)=x-2ln x;

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宝宝宝宝牛牛牛你你你(2)y=

x3-2x-

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. 【导学号:31062052】

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[解] (1)∵f′(x)=2x-,

x且函数定义域为(0,+∞),

令f′(x)=0,得x=1或x=-1(舍去), 当x∈(0,1)时,f′(x)<0, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,

∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1. (2)∵函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且y′=得x1=-1,x2=2,

∴当x变化时,y′,y的变化情况如表:

x-

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x+

3

x-

,令y′=0,

x y′ y (-∞,-1) + 单调递 增 -1 0 3- 8(-1,1) - 单调递 减 (1,2) + 单调递 增 2 0 3 (2,+∞) + 单调递 增 3故当x=-1时,y有极大值-.

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