目录
摘要 ............................................................................................................................... 1 Abstrqct ........................................................................................................................ 1 1引言 ............................................................................................................................ 2 2 方程问题 ................................................................................................................... 2
2.1 方程实根的正负情况 ..................................................................................... 2 2.2 求方程实根的个数 ......................................................................................... 3 2.3 含参数的方程 ................................................................................................. 3 3 不等式问题 ............................................................................................................... 4
3.1 无理不等式 ..................................................................................................... 4 3.2 二元二次不等式组 ......................................................................................... 4 3.3 高次不等式 ..................................................................................................... 5 3.4 绝对值不等式 ................................................................................................. 5 3.5 含参数的不等式 ............................................................................................. 6 4 最值问题 ................................................................................................................... 6
4.1 转化为直线的截距 ......................................................................................... 6 4.2 转化为直线的斜率 ......................................................................................... 7 4.3 转化为距离 ..................................................................................................... 7 5 函数问题 ................................................................................................................... 8
5.1 比较函数值的大小 ......................................................................................... 8 5.2 函数的定义域 ................................................................................................. 9 5.3 函数的值域 ..................................................................................................... 9 5.4 函数求值 ....................................................................................................... 10 5.5 函数的单调区间 ........................................................................................... 11 5.6 函数的奇偶性,单调性 .................................................................................. 11 6解决线性规划问题 .................................................................................................. 12 参考文献 ..................................................................................................................... 13 致谢 ............................................................................................................................. 13
Ⅰ
谈数形结合思想在中学数学解题中的应用
XXX
数学与信息学院数学与应用数学专业2011级 指导老师:XXX
摘要：数形结合思想在中学数学中应用广泛, 本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用。充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。在中学数学解题中充分运用数形结合思想,有助于学生思维能力的培养, 有利于他们解题能力的提高。
关键词: 数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题
On the combination of application of thought in middle school
mathematics
XXX
College of Mathematics and Information Mathematics and Applied Mathematics
Grade 2011 Instructor: XXX
Abstrqct：Several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that number form combined with the thinking and methods in the equation, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems. Full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual description of the geometry, how to make many abstract concepts and visual and simplify complex relationships. Full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students' thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving.
Key words: The number of combination form; Several form combining ideas; Equation problem; Inequality problem; The most value problems; Function problem; Linear programming problem
1
1引言
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，我们通常把数与形之间的一一对应关系称之为数形结合或形数结合。其主要作用是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。纵观多年来的各地的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，都可起到事半功倍的效果。
在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。将“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，解决线性规划问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅易于直观的寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理过程，大大简化解题过程。下面我将就数形结合思想在方程、不等式、线性规划中的应用做一个系统的分析与总结。
2 方程问题
方程是中学数学中常见和重要的学习研究对象，特别是二次方程，是方程问题学习中的重点和难点。而方程、不等式、函数三者之间又有密切联系 ，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。
2.1 方程实根的正负情况
若用代数方法研究方程根的情况,计算复杂.但如果用数形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了。
例1 已知二次方程x2?2x?lg(2a2?a)?0有一正根和一负根,求a的取值范围.
解:设f(x)?x2?2x?lg(2a2?a)
因为二次项系数大于0，函数图象开口向上，如图1 所以函数与x轴的交点落在y轴两侧只需f(0)?0，
f(0)?lg(2a2?a)?0?0?2a2?a?1.
11解之得，-?a?0或?a?1.
22图1
利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，
2
提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。
2.2 求方程实根的个数
有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.
11例2 求方程x2?x??的实根个数。
4x解：此题若直接解方程则较为困难， 若利用数形结合，将代数问题转化为几 何问题，则较为简单。即求两曲线的交 点的个数。
11
做出函数y?x2?x?和y?的图象，从图2中可以看出两曲线的交点M只
4x
图2
有一个，所以，方程只有一个实数解。
例3 求方程sinx?lgx的解的个数. 解:作出函数y?sinx和y?lgx的图象。观察图象,两函数图象有3个交点。 所以，原方程的解有3个。
结合函数定义域正确画判断。
2.3 含参数的方程
中学数学中常见的是含参数的二次方程，很多数学问题最后都可转化为二次方程问题来处理。在对二次方程问题的探讨中,对含有参数的二次方程实根问题代数解法讨论较繁而且解题入手点不简明。若采用数形结合方法解决此类问题,则思路自然、结果简明直观,易操作,容易理解运用。
例4 集合
A?{(x,y)|y?x2?mx?2},
图3
出函数图像时要注意交点，分界点。可结合函数的性质或简单的计算、估算作出
3
图4
B?{(x,y)|x?y?1?0,0?x?2}且A?B??,求实数m的取值范围。
解:由题意得方程x2?mx?2?x?1(0?x?2)等价变形为方程
x2?1?(1?m)x 在(0 ,2)中有解。
设y1?x2?1, y2?(1?m)x, 0?x?2.
则y1?x2?1的图象为抛物线段，y2?(1?m)x图象为过定点(0 ,0)的直线系， 其中L 1 :y?2x为切线,切点为(1 ,2)。
由图4可知,直线系斜率1?m满足1?m?2时,直线系和抛物线段都相交。 所以，m的取值范围是m??1。
由于方程含有参数，因此画出的函数图像不是静态不变的，而是动态变化的，例如直线系，曲线系。要注意寻找分界点，分界直线。
3 不等式问题
不等式问题也是中学数学的重要内容。不等式是解决问题的一种有利工具，而许多复杂的不等式问题也能通过数形结合的方法得到巧妙解决。 3.1 无理不等式
解无理不等式是中学数学的一个重要内容，常规解法是平方去根号转化为有理不等式(组)求解。但上述解法往往运算量大，过程冗长。解题中若能注意到某些代数式的功能作用，将原不等式作适当转化，利用数形结合的方法，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率。
例5 解不等式x?2?x 。 解：令s(x)?x?2，q(x)?x，
则不等式x?2?x的解就是使
–3y3q(x) = x2s(x) = x + 2P(2,2)1A–2–1O–11B23x图5s(x)?x?2的解在q(x)?x的上方的那段图象所对应的横坐标，如图5不等式的解集
为{x|xA?x?xB}。
而xB可由x?2?x解得xB?2，xA??2， 故不等式的解集为{x|?2?x?2}。
3.2 二元二次不等式组
4