高考数学第一轮复习(典型题+详解)不等式的证明及著名不等式专项基础训练

不等式的证明及著名不等式

1.基本不等式

(1)定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.

a+b

(2)定理(基本不等式):如果a,b>0,那么____ab,当且仅当______时,等号成立.也

2可以表述为:两个____的算术平均__________________它们的几何平均. (3)利用基本不等式求最值:对两个正实数x,y,

①如果它们的和S是定值,则当且仅当______时,它们的积P取得最____值; ②如果它们的积P是定值,则当且仅当______时,它们的和S取得最____值. 2.三个正数的算术—几何平均不等式

a+b+c3(1)定理 如果a,b,c均为正数,那么____abc,当且仅当________时,等号成立.

3即三个正数的算术平均________它们的几何平均. (2)基本不等式的推广

a1+a2+…+an

对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均________它们的几何平均,即nn

____a1a2…an,

当且仅当______________时,等号成立. 3.柯西不等式

(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.

22222

(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a21+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥(a1b1

+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.

(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 4.证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法

知道a>b?a-b>0,ab,只要证明______即可,这种方法称为求差比较法. ②求商比较法

a

由a>b>0?>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明______即可,这种

b

1

方法称为求商比较法. (2)分析法

从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的__________,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法. (3)综合法

从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法. (4)反证法的证明步骤

第一步:作出与所证不等式______的假设;

第二步:从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立. (5)放缩法

所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地____________,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立. (6)数学归纳法

设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题P1(或P0)成立;(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切自然数成立.

11

1.已知a<0,b<0,且2>2,则a,b的大小关系为______.

ab

a+ma

2.已知a、b、m均为正数,且a

bb+m3.设a=3-2,b=6-5,c=7-6,则a,b,c的大小关系为__________. 1

4.已知a>0,b>0,则P=lg(1+ab),Q=[lg(1+a)+lg(1+b)]的大小关系为________.

2222

5.设a、b、c是正实数,且a+b+c=9,则++的最小值为________.

abc

题型一 柯西不等式的应用

例1 已知3x2+2y2≤6,求证:2x+y≤11.

2

思维升华 使用柯西不等式时,关键是将已知条件通过配凑,转化为符合柯西不等式条件的式子,二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.

若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为______.

题型二 用综合法或分析法证明不等式

例2 已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1, 111

求证:(1)(-1)·(-1)·(-1)≥8;

abc(2)a+b+c≤3.

思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野.

设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.

求证:(1)a+b+c≥3; (2)

题型三 放缩法或数学归纳法 例3 若

思维升华 (1)与正整数n有关的不等式证明问题,如果用常规方法有困难,可以考虑利用数学归纳法来证明.在利用数学归纳法证明不等式时,在第二步骤中,要注意利用归纳假设.同时,这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法.本题可用数学归纳法进行证明,但较麻烦.

(2)放缩法证明不等式,就是利用不等式的传递性证明不等关系.常见的放缩变换有

1

k2

3

a+ bcb+ acc

≥3(a+b+c). ab

n∈N*,S

n?n+1??n+1?2

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