不等式的证明及著名不等式
1．基本不等式
(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b
(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么____ab，当且仅当______时，等号成立．也
2可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，
①如果它们的和S是定值，则当且仅当______时，它们的积P取得最____值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当______时，它们的和S取得最____值． 2．三个正数的算术—几何平均不等式
a＋b＋c3(1)定理 如果a，b，c均为正数，那么____abc，当且仅当________时，等号成立．
3即三个正数的算术平均________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广
a1＋a2＋…＋an
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即nn
____a1a2…an，
当且仅当______________时，等号成立． 3．柯西不等式
(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
22222
(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1
＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 4．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法
知道a>b?a－b>0，a
a
由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明______即可，这种
b
1
方法称为求商比较法． (2)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤
第一步：作出与所证不等式______的假设；
第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法
所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法
设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．
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1．已知a<0，b<0，且2>2，则a，b的大小关系为______．
ab
a＋ma
2．已知a、b、m均为正数，且a bb＋m3．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为__________． 1 4．已知a>0，b>0，则P＝lg(1＋ab)，Q＝[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]的大小关系为________． 2222 5．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________. abc 题型一 柯西不等式的应用 例1 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤11. 2 思维升华 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． 若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为______． 题型二 用综合法或分析法证明不等式 例2 已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， 111 求证：(1)(－1)·(－1)·(－1)≥8； abc(2)a＋b＋c≤3. 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1. 求证：(1)a＋b＋c≥3； (2) 题型三 放缩法或数学归纳法 例3 若 思维升华 (1)与正整数n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法来证明．在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设．同时，这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法．本题可用数学归纳法进行证明，但较麻烦． (2)放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系．常见的放缩变换有 1 k2 3 a＋ bcb＋ acc ≥3(a＋b＋c)． ab n∈N*，S n?n＋1??n＋1?2