《计算机数学基础(2)》辅导六
第14章 常微分方程的数值解法
一、重点内容 1. 欧拉公式：
(k＝0，1，2，…，n－1)
局部截断误差是O(h2)。 2. 改进欧拉公式：
或表示成： 平均形式：
局部截断误差是O(h)。
3. 四阶龙格――库塔法公式：
3
0.5
其中 ?1＝f(xk，yk)；?2＝f(xk+h，yk+
0.5
h?1)；?3＝f(xk+
0.5
h，yk+
0.5
h?2)；
?4＝f(xk+h，yk+h?3)
局部截断误差是O(h5)。
二、实例
例1 用欧拉法解初值问题
取步长h＝0.2。计算过程保留4位小数。
解 h＝0.2，f(x，y)＝－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式
＝0.2yk(4－xkyk) (k＝0，1，2) 当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有
y(0.2)≈y1＝0.2×1(4－0×1)＝0.8
当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有
y(0.4)≈y2＝0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144
当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有
y(0.6)≈y3＝0.2×0.6144×(4－0.4×0.6144)＝0.4613
例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题
取步长h＝0.2，计算 y(1.2)，y(1.4)的近似值，小数点后至少保留5位。
解 步长h＝0.2，此时f(x，y)＝－y－ysinx 欧拉预报－校正公式为：
2
有迭代格式：
当k＝0，x0＝1，y0＝1时，x1＝1.2，有
＝y0(0.8－0.2y0sinx0)＝1×(0.8－0.2×1sin1)＝0.63171
y(1.2)≈y1
＝1×(0.9－0.1×1×sin1)－0.1(0.63171＋0.631712sin1.2)＝0.71549 当k＝1，x1＝1.2，y1＝0.71549时，x2＝1.4，有
＝y1(0.8－0.2y1sinx1)＝0.71549×(0.8－0.2×0.71549sin1.2) ＝0.47697
y(1.4)≈y2
＝0.71549×(0.9－0.1×0.71549×sin1.2) －0.1(0.47697＋0.476972sin1.4) ＝0.52611
例3 写出用四阶龙格――库塔法求解初值问题
的计算公式，取步长h＝0.2计算y(0.4)的近似值。至少保留四位小数。
解 此处f(x，y)＝8－3y，四阶龙格――库塔法公式为
其中 ?1＝f(xk，yk)；?2＝f(xk+
0.5
h，yk+
0.5
h?1)；?3＝f(xk+
0.5
h，yk+
0.5
h?2)；
?4＝f(xk+h，yk+h?3)
本例计算公式为：
其中 ?1＝8－3yk；?2＝5.6－2.1yk； ?3＝6.32－2.37yk；?4＝4.208＋1.578yk
＝1.2016＋0.5494yk (k＝0，1，2，…)
当x0＝0，y0＝2，
y(0.2)≈y1＝1.2016＋0.5494y0＝1.2016＋0.5494×2＝2.3004 y(0.4)≈y2＝1.2016＋0.5494y1＝1.2016＋0.5494×2.3004＝2.4654
例4 对初值问题
，
y(0)＝1，证明用梯形公式求得的近似解为
并证明当步长h?0时，yn?e－x
证明 解初值问题的梯形公式为
∵ f(x，y)＝－y ∴
整理成显式
反复迭代，得到
∵ y0＝1 ∴
若x＞0，为求y(x)的近似值，用梯形公式以步长h经过n步计算得到x，故x＝nh，有
例5 选择填空题：
1. 取步长h＝0.1，用欧拉法求解初值问题
的计算公式是
答案：
，k＝0，1，2，…，y0＝1