1.定积分的定义
给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)：
将[a，b]区间分成n份，分点为a＝x0 第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[xi－1，xi]上的值最大.设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn. 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分. b 记作?baf(x)dx，即?af(x)dx＝A. 2.定积分的性质 ①?ba1dx＝b－a. b②?bakf(x)dx＝k?af(x)dx. bb③?b?ag(x)dx. a[f(x)±g(x)]dx＝?af(x)dx±cb④?baf(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx. 3.微积分基本定理 b如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有?af(x)dx＝F(b)－F(a). 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) b(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?baf(x)dx＝?af(t)dt.( √ ) (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则?baf(x)dx>0.( √ ) (3)若?baf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.( × ) a (4)若f(x)是偶函数，则?a－af(x)dx＝2?0f(x)dx.( √ ) (5)若f(x)是奇函数，则?a－af(x)dx＝0.( √ ) 12(6)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是?0(x－x)dx.( × ) 11.若f(x)＝x2＋2?10f(x)dx，则?0f(x)dx等于( ) A.－1 答案 B 1 B.－ 3 1C. 3 D.1 2 解析 令?10f(x)dx＝m，则f(x)＝x＋2m， 13121?x＋2mx??0所以?1f(x)dx＝?(x＋2m)dx＝00 ?3?? 11 ＝＋2m＝m，解得m＝－，故选B. 33 2.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.22 答案 D 解析 如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2,8)， B.42 C.2 D.4 图中阴影部分即为所求图形面积. 3S阴＝?20(4x－x)dx 1＝(2x2－x4)|2 40 1 ＝8－×24＝4，故选D. 4 3.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋ 25 (t的单位：1＋t s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln5 C.4＋25ln5 答案 C 8 解析 令v(t)＝0得t＝4或t＝－(舍去)， 3∴汽车行驶距离s＝?40(7－3t＋34＝(7t－t2＋25ln(1＋t))|0 2＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5. 1|x|4.?－1edx＝________. 11 B.8＋25ln 3D.4＋50ln2 )dt 1＋t 25 答案 2e－2 |x|1|x|1xx1 解析 ?1－1edx＝2?0edx＝2?0edx＝2e|0＝2e－2. T25.(教材改编)若?0xdx＝9，则常数T的值为________. 答案 3 T2解析 ∵?0xdx＝ 13T13 x|0＝3×T＝9. 3∴T3＝27，∴T＝3. 题型一 定积分的计算 2 例1 (1)定积分?1－1(x＋sinx)dx＝________. (2)设f(x)＝错误!则?错误!f(x)dx等于( ) 3A. 4 4B. 5 5C. 6 D.不存在 2 答案 (1) (2)C 3 2 解析 (1)?1－1(x＋sinx)dx 21＝?1－1xdx＋?－1sinxdx x31212 ＝2?0xdx＝2·|0＝. 3 3