选修2-2 3.1 第1课时 数系的扩充与复数的概念
一、选择题 1．下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A．① B．② C．③ D．④ [答案] D
[分析] 由复数的有关概念逐个判定．
[解析] 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若
a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.
2．(2010·四川理，1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( ) A．－1 B．1 C．－i D．i [答案] A
[解析] i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
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3．下列命题中假命题是( ) i
A.不是分数 2
B.3i不是无理数 C．－i2是实数
D．若a∈R，则ai是虚数 [答案] D
[解析] 当a＝0时，ai是实数，所以D是假命题，故应选D. 4．对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是( ) A．a＝0?a＋bi为纯虚数 B．b＝0?a＋bi为实数
C．a＋(b－1)i＝3＋2i?a＝3，b＝－3 D．－1的平方等于i [答案] B
[解析] a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i?a＝3，b＝3，C错误．(－1)2＝1，D错误．故应选B.
5．若z的实部为lgx2，虚部为lg2x，x是正实数，那么( ) A．使z的实部、虚部都是正数的x的集合是(1，＋∞) B．使z的虚部为负数的x的集合是(0,1)
C．使z的实部和虚部互为相反数的x的集合是{1}
?34?
D．使z的实部和虚部互为倒数的x的集合是??
?2?[答案] A
2??lgx>0
[解析] 由?2解得x>1，A正确．故应选A.
lgx>0??
6．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( ) A．|a|＝|b|
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B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a≤0 [答案] D
[解析] 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，而|a|＝－a，∴a≤0，故应选D.
7．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A．2kπ－π
4
B．2kπ＋π
4 C．2kπ±π
4
D.kπ＋π
24(以上k∈Z) [答案] B
2θ＝2kπ＋π
[解析] 由??sin2θ－1＝0
2
??＋1≠0
?
得
?2cosθ??θ≠2kπ＋π±π4
(k∈Z)
∴θ＝2kπ＋π
4
.选B.
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 [答案] C
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)