第三章 二维随机变量及其联合概率分布
考试内容：
二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布 考试要求：
1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。
2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率
分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独
立性的关系。
4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。 5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。
一、知识要点
1、二维随机变量的分布函数
(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)?P{X?x,Y?y}， 性质:0?F(x,y)?1，单调不减，右连续，
F(??,??)?0，F(??,y)?0，F(x,??)?0，F(??,??)?1； X的边缘分布函数：FX(x)?F(x,??)； Y的边缘分布函数：FY(y)?F(??,y).
2、二维离散型随机变量(X,Y)
联合分布律：P(X?x1,Y?yj)?pij，i,j?1,2,?，一般用矩形表格列出； 边缘分布律：P(X?xi)?
P(Y?yj)??pjiji记ij?pi?，i?1,2,?
?p记?p?j，j?1,2,?.
3、二维连续型随机变量(X,Y)
若F(x,y)???xy????f(u,v)dudv，称f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数；
f(x,y)的性质:
(1) f(x,y)?0；
(2)
??????????f(x,y)dxdy?1；
?2F(x,y)(3)若f(x,y)连续，则?f(x,y)；
?x?y(4)P{(X,Y)?D}???f(x,y)dxdy；
D 1
边缘密度: fX(x)??????f(x,y)dy；fY(y)??????f(x,y)dx；
?1? , (x,y)?D二维均匀分布：f(x,y)??SD，SD为D的面积；
?0 , 其它?2二维正态分布N(?1,?2;?12,?2;?)：
22????????x??x??y??y??11??1122??????f(x,y)?exp???2??? 2????2?1?22(1??)???1?2??1?21????2????????2其边缘分布分别为一维正态分布X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?2).
4、随机变量的独立性
若F(x,y)?FX(x)?FY(y)，称X与Y相互独立； 离散型：pij?pi .?p?j，i,j?1,2,?；
连续型：f(x,y)?fX(x)?fY(y)?fX(x)?fY(y)，x,y?R.
5、条件分布
离散型：在Y?yj条件下X的条件分布为
P(X?xi|Y?yj)?6、二维随机变量函数的分布
主要研究Z?X?Y的分布： 连续型，卷积公式：fZ(z)?pijp?j，j?1,2,?.
?????f(x,z?x)dx或fZ(z)??????f(z?y,y)dy；
若X,Y相互独立，则fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx或fZ(z)??????fX(z?y)fY(y)dy；
可加性定理：
(1) 设X~B(m,p)，Y~B(n,p)，且X,Y相互独立，则X?Y~B(m?n,p)； (2) 设X~P(?1)，Y~P(?2)，且X,Y相互独立，则X?Y~P(?1??2);
22(3) 设X~N(?1,?1)，Y~N(?2,?2)，且X,Y相互独立，则有
2X?Y~N(?1??2,?12??2);
推广到有限多个，若Xi~N(?i,?i2)，i?1,2,?,n，且X1,X2,?,Xn相互独立，则有
Z??aiXi~N(?ai?i,?ai2?i2)，
i?1i?1i?1nnn称为正态分布的可加性.
二、典型例题
题型1：二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布
【例1】 (研97) 设两个随机变量X和Y相互独立且同分布：P{X??1}?P{Y??1}?1，2 2
P{X?1}?P{Y?1}?(A)P{X?Y}?1，则下列各式成立的是 2 【 】
1 (B) P{X?Y}?1 211(C) P{X?Y?0}? (D) P{XY?0}?
44【详解】 由X和Y相互独立知
P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}
?P{X??1}?P{Y??1}?P{X?1}?P{Y?1} 11111?????。 22222而 P{X?Y?0}?P{X??1,Y?1}?P{X?1,Y??1}
?P{X??1}?P{Y?1}?P{X?1}?P{Y??1} 11111?????， 22222P{XY?0}?0。
【答案】 应选(A).
??10【例2】 (研99) 设随机变量Xi~?11??42等于
(B)
(C)
(A)0
1?1?(i?1,2)，且满足P{X1X2?0}?1，则P{X1?X2}4??
【 】
(D)1
1 41 2【详解】 先求联合分布：
由于P{X1X2?0}?1，所以P{X1X2?0}?0，即
P{X1??1,X2??1}?P{X1??1,X2?1}?P{X1?1,X2??1}?P{X1?1,X2?1}?0，
X2 X1 ?1 0 a 0 b c d 0 0 e 0 1 p?j 1/4 1/2 1/4
由联合与边缘分布的关系得 a?b?d?e?所以 P{X1?X2}?0?c?0?0， 【答案】 应选(A).
?1 0 1 pi? 1/4 1/2 1/4 1 1，c?0， 4【例3】 (研09) 设袋中有1个红球，2个黑球和3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数. (1) 求P{X?1|Z?0}；(2) 求二维随机变量(X,Y)的概率分布.
【详解】 (1) P{X?1|Z?0}表示在没有取得白球的情况下取了一次红球的概率，相当于在红球和黑球中有放回地从袋中两次取球，其中一个为红球，一个为黑球的概率，故
3
11C2?C24P{X?1|Z?0}?11?.
C3?C39(2) X,Y的取值为0，1，2，且
1111C3?C3C2?C311P{X?0,Y?0}?11?，P{X?1,Y?0}?11?，
C6?C64C6?C66111C2?C2?C3111，P{X?0,Y?1}?， P{X?2,Y?0}?11??11C6?C6363C6?C61111C2?C2C2?C211P{X?1,Y?1}?11?，P{X?0,Y?2}?11?，
C6?C69C6?C69P{X?2,Y?1}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?2}?0， 故二维随机变量(X,Y)的概率分布如下：
X Y 0 1 2 0 1/4 1/3 1/9 1 1/6 1/9 0 2 1/36 0 0 题型2：二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布
【例1】 设随机变量(X,Y)的分布函数为
F(x,y)?A(B?arctanxy)(C?arctan)，试求： 23(1) 系数A,B,C；(2) (X,Y)的概率密度；(3) 边缘密度函数；(4) P{0?X?2,Y?3}. 【详解】 (1) 1?F(??,??)?A(B??2)(C??2)，
0?F(??,??)?A(B??B?C??2)(C??2)，0?F(??,??)?A(B??2)(C??2)，
?2，A?1?2.
?2F(x,y)6(2) (X,Y)的联合概率密度函数为 f(x,y)?. ?222?x?y?(4?x)(9?y)????62(3) fX(x)??f(x,y)dy??， dy????2(4?x2)(9?y2)???(4?x2)????63， ?dx?fY(y)??f(x,y)dx?2???2(4?x2)(9?y2)???(9?y)或解：边缘分布函数分别为
FX(x)?F(x,??)?1?x1?y(?arctan)，FY(y)?F(??,y)?(?arctan)， ?22?23求导得边缘密度函数分别为
?(x)?fX(x)?FX33?f(y)?F(y)?，. YY22?(9?y)?(4?x) 4
(4) P{0?X?2,Y?3}?2??023??f(x,y)dxdy?36?2?20dx3dy 2???24?x9?y61x1y?2?arctan?arctan2033?2???3. 16【例2】 (研92) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?e?y , 0?x?y， f(x,y)??其他?0 , (1) 求X的边缘密度fX(x)；(2) 求概率P{X?Y?1}.
【详解】(1) fX(x)??????f(x,y)dy，
当x?0时， fX(x)?0； 当x?0时， fX(x)?所以
???xe-ydy?e?x，
?e?x , x?0. fX(x)???0 , x?0x?y?1(2) P{X?Y?1}???f(x,y)d???1/20dx?1?xx?1?yedy?1??2e2.
e1【例3】 (研95) 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?4xy , 0?x?1,0?y?1， f(x,y)?? 0 , 其他?求(X,Y)的联合分布函数. 【详解】 F(x,y)???xy????f(u,v)dudv，分块计算，
当x?0或y?0时，显然F(x,y)?0； 当0?x?1且0?y?1时，F(x,y)?当x?1且0?y?1时，F(x,y)?当y?1且0?x?1时，F(x,y)?当x?1且y?1时，F(x,y)?综上所述，
??yxy004uvdudv?x2y2；
????100x14uvdudv?y2；
004uvdudv?x2；
??4uvdudv?1，
0011? 0 , x?0或y?0?x2y2 , 0?x?1,0?y?1??F(x,y)??x2 , y?1且0?x?1.
?y2 , x?1且0?y?1??? 1 , x?1且y?1题型3：二维随机变量函数的分布
【例1】 (研01) 设二维随机变量(X,Y)在正方形G?{(x,y)|1?x?3,1?y?3}上服从均匀分布，
5