统计学院 概率论与数理统计 自测题
《概率论与数理统计》第四单元自测题
时间：120分钟，卷面分值：100分
一、填空题：（每空2分，共12分） 得分 1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数?XY=0.6，则D(3X-2Y)= 。 2．已知随机变量X~N(0, ?2)(?>0)，Y在区间[0,3?]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=?2， 则X与Y的相关系数?XY= 。
3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数
?XY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。
x?1?12e，x?0，?4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为f(x)??2 ?0，x?0，?
如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为?XZ= 。
?-1，X?0，?5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量Y??0，X?0，
?1，X?0，?则方差D(Y)= 。
6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{?X-2??4}? 。 二、单选题：（每题2分，共12分） 得分 1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。 (A)不相关的充分条件，但不是必要条件； (B)不相关的必要条件，但不是充分条件； (C)独立的必要条件，但不是充分条件；
(D)独立的充分必要条件。 2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 (A) X与Y一定相互独立； (B) X与Y一定不相关；
(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然( )。
(A) 不相关；(B) 相互独立；(C) 不独立；(D) 无法判断。 4．若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是( )。
(A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)?D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)?D(X-Y)。 5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则
第四单元自测题及参考答案 第 1 页 共 6 页 2013-11
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此人所得奖金的数学期望为( )。
(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。 6. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )。 (A)1； (B)
11； (C)?； (D)?1。 22三、判断题：（每题2分，共12分） 得分 1.( )设随机变量X和Y相互独立，且有D(X)=2，D(Y)=3，则有D(5X-2Y)=4。
2.( )设随机变量X，Y，且E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，则方差 D(2X-3Y)=35。 3. ( )设随机变量X和Y的联合分布律为
X -1 1 2
Y
-1 1/4 1/4 0
1 1/4 0 1/4
可知X与Y不相互独立，因此X与Y不相关。
?1?xe,x?0,??24. ( )设随机变量X的概率密度为f(x)?? 则X的数学期望为
?1ex,x?0,??2?1??x1??xedx?,x?0,2?20 E(X)??0?1xexdx??1,x?0,?2?2??????sinxsiny,0?x,y?,5. ( )设二维随机变量X与Y的联合概率密度为f(x,y)??2
?0,其他，?则数学期望E(X)???/20xsinxsinydx?siny。
6. ( )若二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为
?x?y，0?x?1, 0?y?1， f(x,y)??0,其他，?则随机变量X与Y不是不相关，因而X与Y不相互独立。
四、计算题（共34分） 1．(8分)设随机变量?, ?是相互独立且服从同一分布，已知?的分布律为
P{?=i}=1/3，i=1, 2, 3， 又设X=max(?, ?)，Y=min(?, ?)，
求(1)随机变量X的数学期望E(X)，(2) X与Y的相关系数?XY。 得分 2．(10分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
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f(x,y)???2?x?y，0?x?1, 0?y?1，
其他，?0，(1)判别X与Y是否相互独立？是否相关？(2)求 D(X+Y)。 得分 3．(8分)设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 f(x,y)???1，y?x, 0 求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，?XY。 得分 4. (8分)设随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布， 求随机变量Z=min{ X1, X2, …, Xn}的数学期望与方差。 得分 五、应用题（共16分） 1.(8分)某系某班共有n名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学， 求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差。 得分 2. (8分) 设某种商品每周需求量X是服从区间(10, 30)上均匀分布的随机变量，而经销商 店进货数量为区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于 求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 单位商品仅获利300元，求最优进货量。 得分 六、综合题（14分） 设随机变量X1, X2, …, Xn(n>2)为独立同分布，均服从N(0, 1)，记 1nX=?Xi，Yi=Xi-X，i=1, 2, …, n， ni?1(1)求Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, …, n； (2)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1, Yn)； (3)求P{Y1+Yn?0}； (4)证明Y1与Yn的相关系数为?Y1Yn?? 1。 得分 n?1 第 3 页 共 6 页 3 统计学院 概率论与数理统计 自测题 《概率论与数理统计》第四单元自测题参考答案 一、填空题： 1．28.8；2. 1/4；3. 2；4. -1, 6/4；5. 8/9；6. 1/8。 二、选择题： 1．C；2. B；3. A；4. B；5. C；6. D。 三、判断题： 1．错；2. 错；3. 错；4. 错；5. 错；6. 对。 四、计算题 1．【答】E(X)=22/9，?XY=8/19。 【解】X与Y的联合分布律为： Y 1 2 3 P{X=i} X 1 1/9 0 0 1/9 2 2/9 1/9 0 3/9 3 2/9 2/9 1/9 5/9 P{Y=j} 5/9 3/9 1/9 1 E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X2)=58/9，E(Y2)=26/9， XY 1 2 3 4 6 9 P 1/9 2/9 2/9 1/9 2/9 1/9 E(XY)=4。 2．【答】(1) 不独立，相关。(2) D(X+Y)=5/36。 ??1?3【解】 ff(x,y)dy?(2?x?y)dy?x,0?x?1,X(x)????????2， 0??0,其他,???3同理 fy)?f(x,y)dx???2?y,0?y?1,Y( ?????0,其他,在0 ????1E(X)???????xf(x,y)dxdy??x(3?x)dx?5，由x与y的对称性知E(Y)=5021212， ????111 E(XY)?xyf(x,y)dxdy?xdxy(22x1， ????x?y)dy?x(?)dx?????0?0?0336??1E(X2)?x2f(x)dx?x2(3?x)dx?1?E(Y2)，???X?024 D(X)=E(X2)-(E(X))2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144， 第 4 页 共 6 页 4 统计学院 概率论与数理统计 自测题 ρCov(X,Y)XY?D(X)D(X)??111?0，故X与Y相关。 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。 3．【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，?XY=0。 方法同上例，略。 4.【答】E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。 【解】随机变量X?1?e?z,z?0,1, X2, …, Xn的分布函数为 FX(z)??0, ?z?0,则Fz)?1?(1?Fn?1?e?nz,z?0,Z(X(z))?? ?0,z?0, 即Z服从参数为1/n的指数分布，故E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。 五、应用题 1.【答】E(X)=1，D(X)=1。 【解】设随机变量Xi名学生拿到自己的学生证,i???1,若第?0,若第i名学生没拿到自己的学生证, i?1, 2, ?, n， E(X1i)?n，D(X11i)?n?n2， i?1, 2, ?, n， 又X=X1+?+Xn，注意X1, X2, …, Xn不相互独立， E(X)=E(X1+?+Xn)=E(X1)+?+E(Xn)=1， 又P?XiXj?1??P?Xi?1?P?Xj?1Xi?1??1n?1n?1， Xi Xj 0 1 P 1?1n(n?1) 1n(n?1) 于是 E(X1iXj)?n(n?1)，Cov(X1i,Xj)?E(XiXj)?E(Xi)E(Xj)?n2(n?1)，(i?j) D(X)=D(X1+?+Xn)=D(X1)+?+D(Xn)?21?i?Cov(Xi,Xj) ?j?n?n(1n?121n2)?2Cnn2(n?1)?1。 2.【答】约23单位商品。 ?【解】(1)由题设，X的概率密度为f(x)??1?20,10?x?30, ??0,其他，设进货量为a，则利润为 第 5 页 共 6 页 5