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23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过
点A（1，0）和点B（0，1）（12分）． （1）试求a，b所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍
时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请
说明理由．
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24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的
顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．（12分） （1）若点A的坐标是（﹣4，4）．
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件
的点A的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
一、选择题 1、选C
2、解：∵y=2（x﹣1）2+3，
∴其顶点坐标是（1，3）． 故选A．
3、解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），
可设新抛物线的解析式为y=3（x﹣h）2+k，代入得y=3（x+1）2﹣2． 故选B．
4、解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；
B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；
C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0； D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣故选D． 5、选D; 6、选D
7、解：由列表可知，当x=﹣1或x=2时，y=0；
所以当﹣1＜x＜2时，y的值为正数． 故选A．
8、解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1
∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个． 选A 9、选D； 10、B
二、填空题（每小题3分，共18分）
＞0．
11、解：根据题意得， 解得．
∴二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3．
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12、解：配方得：y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=（x﹣2）2+1，
当选x=2时，二次函数y=x2﹣4x+5取得最小值为1． 13、解：把x=0代入得，y=﹣4，即交点坐标为（0，﹣4）． 14、解：设应降价x元，销售量为（20+x）个，
根据题意得利润y=（100﹣x）（20+x）﹣70（20+x）=﹣x2+10x+600=﹣（x﹣5）2+625， 故为了获得最大利润，则应降价5元，最大利润为625元． 15、②③．
16、解：当y=0时，﹣
x2+x+=0，
解之得x1=10，x2=﹣2（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 三、解答题（共8小题，共72分） 17、解：（I）由已知，a=4，b=﹣11，得
∴该抛物线的对称轴是x=
；
，
（II）令y=0，得4x2﹣11x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣，0）， 令x=0，得y=﹣3，
∴
，解得，
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∴该二次函数关系式为y=x2﹣4x+5； （2）∵y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，
∴当x=2时，y有最小值，最小值是1，
（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在函数y=x2﹣4x+5的图象上，
所以，y1=m2﹣4m+5，
y2=（m+1）2﹣4（m+1）+5=m2﹣2m+2， y2﹣y1=（m2﹣2m+2）﹣（m2﹣4m+5）=2m﹣3， ∴①当2m﹣3＜0，即m＜时，y1＞y2； ②当2m﹣3=0，即m=时，y1=y2； ③当2m﹣3＞0，即m＞时，y1＜y2．
20、解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得： 0=1+m，
，
∴m=﹣1，b=﹣3，c=2， 所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；
（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．
∴所求的函数解析式为y=﹣x2+
x+5
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