十、数列 一、选择题 1．（天津理4）已知
?an?为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为
?an?的前n项和，n?N*，则S10的值为
A．-110 B．-90 C．90 D．110 【答案】D
2．（四川理8）数列
?an?的首项为3，?bn?为等差数列且bn?an?1?an(n?N*)．若则
b3??2，b10?12，则a8?
A．0 【答案】B
B．3 C．8 D．11
【解析】由已知知
bn?2n?8,an?1?an?2n?8,由叠加法
(a2?a1)?(a3?a2)???(a8?a7)??6??4??2?0?2?4?6?0?a8?a1?3
3．（四川理11）已知定义在
?0,???上的函数f(x)满足f(x)?3f(x?2)，当x??0,2?时，
f(x)??x2?2x．设f(x)在?2n?2,2n?上的最大值为an(n?N*)，且?an?的前n项和
为
Sn?Sn，则limn??
A．3
5B．2
C．2
3D．2
【答案】D
f(x?2)?【解析】由题意
1f(x)3,在[2n?2,2n]上，
11?()n1113?limS?3n?1,f(x)?1,n?2,f(x)?,n?3,f(x)?()2?an?()n?1?Sn?n133321?3
4．（上海理18）设（i?1,2,?），则
A．B．
{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai?1的矩形面积
{An}为等比数列的充要条件为
{an}是等比数列。
a1,a3,?,a2n?1,?或a2,a4,?,a2n,?是等比数列。
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C．D．
a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列。
a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列，且公比相同。
a?1，S?Sk?24，Sn为等差数列?an?的前n项和，若1公差d?2，k?2【答案】D 5．（全国大纲理4）设则k?
A．8 B．7 C．6
【答案】D
6．（江西理5） 已知数列{
D．5
an}的前n项和Sn满足：Sn?Sm?Sn?m，且a1=1．那么a10=
A．1 B．9 C．10 D．55 【答案】A 7．（福建理10）已知函数（fx）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断： ①△ABC一定是钝角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④ 【答案】B 二、填空题 8．（湖南理12）设则
Sn是等差数列{an}(n?N?)，的前n项和，且a1?1,a4?7，
S9= ．
{an}中，a3?a7?37，则a2?a4?a6?a8?__________
【答案】25
9．（重庆理11）在等差数列【答案】74
110．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=2，a4=-4，则公比q=______________；
a1?a2?...?an?2n?1?【答案】
____________。—2
12
11．（安徽理14）已知?ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的
等差数列，则?ABC的面积为_______________.
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【答案】153
12．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积
成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。
67【答案】66
13．（广东理11）等差数列k=____________． 【答案】10 14．（江苏13）设
an前9项的和等于前4项的和．若
a1?1,ak?a4?0，则
1?a1?a2???a7，a,a,a,aa,a,a其中1357成公比为q的等比数列，246成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
3【答案】3
三、解答题
15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列已知对任意整数k?M，当整数 （1）设 （2）设
{an}的首项a1?1，前n项和为Sn，
n?k时,Sn?k?Sn?k?2(Sn?Sk)都成立
M?{1},a2?2,求a5的值； M?{3,4},求数列{an}的通项公式
本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。
解：（1）由题设知，当即
n?2时,Sn?1?Sn?1?2(Sn?S1)，
(Sn?1?Sn)?(Sn?Sn?1)?2S1，
an?1?an?2a1?2,又a2?2,故当n?2时,an?a2?2(n?2)?2n?2. a5的值为8。
k?M?{3,4},且n?k时,Sn?k?Sn?k?2Sn?2Sk
从而所以
（2）由题设知，当
且Sn?1?k?Sn?1?k?2Sn?1?2Sk，
两式相减得所以当
an?1?k?an?1?k?2an?1,即an?1?k?an?1?k?an?1?an?1?k
n?8时,an?6,an?3,an,an?3,an?6成等差数列，且an?6,an?2,an?2,an?6也成等差数
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列 知
2a?an?3?an?3?an?6?an?6. （*）
从而当n?8时，n且即
an?6?an?6?an?2?an?2,所以当n?8时,2an?an?2?an?2，
an?2?an?an?an?2.于是当n?9时,an?3,an?1,an?1,an?3成等差数列， an?3?an?3?an?1?an?1，
2an?an?1?an?1,即an?1?an?an?an?1.
从而
故由（*）式知
d?an?an?1.
当n?9时，设
当2?m?8时,m?6?8，从而由（*）式知故
2am?6?am?am?12
2am?7?am?1?am?13.
从而
2(am?7?am?6)?am?1?am?(am?13?am?12)，于是am?1?am?2d?d?d. an?1?an?d对任意n?2都成立，又由Sn?k?Sn?k?2Sk?2Sk(k?{3,4})可
因此，
(Sn?k?Sn)?(Sn?Sn?k)?2Sk,故9d?2S3且16d?2S4，
a4?73dd,从而a2?d,a1?.222
解得
因此，数列所以数列
{an}为等差数列，由a1?1知d?2.
{an}的通项公式为an?2n?1.
16．（安徽理18）
在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个数的乘积记作
Tn，再令an?lgTn,n≥1.
（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设
{an}的通项公式；
bn?tanan?tanan?1,求数列{bn}的前n项和Sn.
本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运
用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.
解：（I）设
l1,l2,?,ln?2构成等比数列，其中t1?1,tn?2?100,则
Tn?t1?t2???tn?1?tn?2, ①
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Tn?tn?1?tn?2???t2?t1, ②
2tt?tt?10(1?i?n?2),得 1n?3?i1n?2①×②并利用
Tn2?(t1tn?2)?(t2tn?1)???(tn?1t2)?(tn?2t1)?102(n?2),?an?lgTn?n?2,n?1.
（II）由题意和（I）中计算结果，知
bn?tan(n?2)?tan(n?3),n?1.
tan(k?1)?tank,1?tan(k?1)?tank
tan1?tan((k?1)?k)?
另一方面，利用
tan(k?1)?tank?
得
nn?2k?3tan(k?1)?tank?1.tan1
所以
Sn??bk??tan(k?1)?tankk?1
tan(k?1)?tank?1)tan1k?3tan(n?3)?tan3??n.tan1 ??(n?217．（北京理20） 记
若数列
An?a1,a2,...,an(n?2)满足
an?1?a1?1(k?1,2,...,n?1)，数列
An为E数列，
S(An)=a1?a2?...?an．
（Ⅰ）写出一个满足（Ⅱ）若
a1?as?0，且S(As)〉0的E数列An；
a1?12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；
An，使得S?An?=0？
（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列
如果存在，写出一个满足条件的E数列
An；如果不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5） （Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列， 所以
ak?1?ak?1(k?1,2,?,1999).
所以A5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1，
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