1-1 分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜dr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)．
(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故
ΔrΔs?,即｜v｜≠v． ΔtΔt但由于｜dr｜＝ds,故
drds?,即｜v｜＝v．由此可见,应选(C)． dtdtdr表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向dtdr速率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；表示速度矢量；在自
dtds然坐标系中速度大小可用公式v?计算,在直角坐标系中则可由公式
dt1-2 分析与解
?dx??dy?v??????求解．故选(D)．
?dt??dt?dv表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢dtdr量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；在极坐标系中表示径向速率vr(如题1
dt1-3 分析与解 -2 所述)；
22dsdv在自然坐标系中表示质点的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加dtdt速度aｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．
1-4 分析与解 加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．
1-5 分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为
x?l2?h2,其中绳长l 随时间t 而变化．小船速度v?长l 随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为v?dx?dtdldldt,式中表示绳22dtl?hlv0l2?h2/l?v0,方向沿x 轴负cosθ向．由速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选(C)．
1-6 分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改
变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：Δx?xt?x0,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据
dx?0来确定其运动方向改变的时刻tp ,求出0～dttp 和tp～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程s??x1??x2,如图所示,至于t 2dxdx＝4.0 s 时质点速度和加速度可用和2两式计算．
dtdt解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小 Δx?x4?x0??32m
dx?0 得知质点的换向时刻为 tp?2s (t＝0不合题意) (2) 由 dt则 Δx1?x2?x0?8.0m ,Δx2?x4?x2??40m
所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 s?Δx1?Δx2?48m (3) t＝4.0 s时 ,v?2 ,a?2dtt?4.0s1-7 分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出a-t 图线．又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t 的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图．
解 将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为
dxdx??48m?s?1
dtt?4.0s??36m.s?2
aAB?vB?vA?20m?s?2 (匀加速直线运动),aBC?0 (匀速直线运动)
tB?tAvD?vC??10m?s?2 (匀减速直线运动)
tD?tCaCD?根据上述结果即可作出质点的a-t 图［图(B)］． 在匀变速直线运动中,有
由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为
1x?x?v0t?t2
2
用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x -t 图．在2～4ｓ时间内, 质点是作v?20m?s的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k＝20的一段直线［图(c)］．
1-8 分析 质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去
?1t 即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s的求
解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则ds?求ｓ．
解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为,y?2?这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．
(dx)2?(dy)2,最后用s??ds积分
12x 4
(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为
r0?2j , r2?4i?2j
图(a)中的P、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．
(3) 由位移表达式,得 Δr?r2?r1?(x2?x0)i?(y2?y0)j?4i?2j 其中位移大小Δr?(Δx)2?(Δy)2?5.66m
2222x2?y2?x0?y0?2.47m
而径向增量Δr?Δr?r2?r0?*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则
1ds?(dx)2?(dy)2,由轨道方程可得dy??xdx,代入ds,则2ｓ内路程为
2s??ds??PQ404?x2dx?5.91m