所以期货的价格F0为
F0＝(9.000?0.176)e0.1*0.75?9.89
i.e.,每盎司$9.89。
3.19一家银行让一家公司客户从以下两种方案中选择：按11％的年利率借现金或按2%的年利率借黄金，（如果借黄金，利息及本金要用黄金支付。因此今天借100盎司黄金一年后要支付102盎司的黄金）。无风险年利率为9.25%,储存费用为每年0.5%。请分析黄金贷款的年利率与现金贷款的年利率相比是太高了还是太低了？其中两个贷款的利率都用年复利表示。无风险利率和储存成本用连续复利表示。 解：黄金年利率为 （102－100）/100=0.02 由式3.3得，连续复利为
In(1+0.02)=0.0198<<(9.25+0.5)=9.75
因此，黄金贷款年利率与现金贷款的年利率相比是太低了。
3.20假设F1和F2是基于同一种商品的两份期货合约，到期日分别为t1和t2，且t2>t1。请证明：
F2?(F1?U)er(t2?t1)
其中，r为无风险利率（假设不变），U是t1到t2的存储费用，并以无风险利率贴现到t1时刻。为了解这道题，假设远期合约与期货合约的价格相等。 解：如果
F2?(F1?U)er(t2?t1)
投资者可以通过以下方式进行无风险套利： （a） 买入一份在t1时到期的期货合约。 （b） 卖出一个在t2时到期的期货合约。
当第一份期货合约到期时，借入数量为F1?U，利率为r，期限为t2?t1的货币，在到期日t2执行第二份期货合约F2，并归还(F1?U)eF2?(F1?U)er(t2?t1)r(t2?t1)，获利为
因此，套利机会逐渐消失，
F2?(F1?U)er(t2?t1)
3.21当一家公司用远期合约为一已知的外币现金流出进行套期保值，就不存在外币兑换风险，而当用期货合约对该外币现金流出进行套期保值，盯市的方式的确会使公司暴露于一些风险。请解释这种风险的性质。尤其考虑当出现如下四种情况时，公司使用期货合约和远期合约两种方式中的哪一种更好。 (a) 在合约期内，外币迅速贬值。
(b) 在合约期内，外币迅速升值。
(c) 外币先升值然后贬值至它的初始水平。 (d) 外币先贬值然后升值至它的初始水平。 假设远期价格等于期货价格。
11
答：期货合约的总收益和损失与远期合约相等，但是在逐日盯市下，期货合约的价值与远期合约价值偏离。这时远期比期货合约实现更完美的套期保值。
（a） 在这种情况下，远期比期货合约方式好。如果使用远期合约方式，总损失在到期日结算，而使用期货合约方式，损失则是每日结算。
（b） 在这种情况下，期货合约方式更好。如果使用远期方式，收益在到期日结算，而使用期货合约方式时，收益则是每日结算。
（c） 在这种情况下，期货合约方式更好。这是由于风险先产生正的现金流，而后产生负的现金流。 （d） 在这种情况下，远期合约方式更好。这是由于如果使用期货合约方式，先产生负的现金流，后产生正的现金流。
3.22有些人认为远期汇率是未来即期汇率的无偏估计。在什么情况下这种说法是成立的？
答：由等式（3.25）可知，当r＝k时，远期汇率是即期汇率的无偏估计，此时该投资的系统性风险为0。 3.23某家公司不确切知道支付外币的确定日期，有时愿意与银行签订一种在一段时间内都可交割的远期合约。公司希望拥有权利选择交割的确切日期，以对应它的现金流。把你放在银行的位子上，你如何为客户想要的这项产品定价？
答：银行要求公司支付一定的费用，并且确定交割的价格上限，在该价格以上，公司可以选择不交割，反之，在该价格以下，公司选择交割。
3.24外汇期货市场、外汇即期市场和外汇远期市场的报价方式有何区别？
答：在外汇期货市场上，价格通常用一单位美元等于多少外币来表示；在外汇即期市场和外汇远期市场上，通常用另外方式来表示：每单位美元等于多少外币。但是英镑等少数货币在即期市场和外汇远期市场上的价格表示方式与其在外汇期货市场上的表示方式相同。
3.2545天后交割的德国马克的远期价格报价为1.8204。45天后交割的德国马克期货价格为0.5479。请解释这两种报价。哪一种对想要卖出马克的投资者更为有利？
答：远期价格报价1.8204是指在远期市场上1.8024德国马克等于一美元。而期货报价指0.5479美元等于一德国马克。如果都用期货市场报价方式报价，则各自为0.5493和0.5479。因此，远期合约对卖出德国马克者更为有利，因为它每一德国马克收益更多美元。
3.26价值线指数的设计是为了反映1,600种股票的相等权重组合的价值变化。在1988年3月9日以前，每日指数变化是按照指数所包括股票价格变化的几何平均来计算的。在这些情况下，等式（3.12）是否正确反映了指数的期货价格与现货价格的关系？如果没有，等式是高估了还是低估了期货价格？
答:当使用股票价格的几何平均值时，价值线指数与现货价格不一定相关。等式（3.12）因此不正确。这是由于几何平均值总是低于数学平均值，等式（3.12）值大于期货价格。
3.27某家公司有一个?值为1.2的$1000万的组合。它如何运用S&P500的期货合约进行套期保值？指数现值为270。
解：S&P合约是指数的250倍，因此， 1.2×
需要售出177份该合约进行套期保值。
3.28“当便利收益率高时，多头套期保值对那些在未来某一时间要获取一定数量的商品的公司特别有吸引力”。请解释原因。 答：当便利收益率高时，期货价格低于即期价格。这使得购买期货合约锁定价格变得更有吸引力，但是并不是总如此。3.12说明期货价格与预期的期货即期价格取决于商品的系统性风险。
3.29一家美国公司打算使用在芝加哥商品交易所CME交易的期货合约对它的德国马克头寸进行套期保值。定义r为所有到期日的美元的年利率，为?f所有到期日的马克年利率。假设r和?f是常数，公司运用在T时刻到期的期货合约对冲在?时刻（T>?）的某个风险暴露，证明最佳套期保值比率为
12
10,000,000270*250＝177.7
e(rf?r)(T??)
证明：(a)假设F0为T时到期的期货在0时的价格，F1为该合约在?时的价格，则 F1?S1e(r?rf）(T-?)
假设套期保值率为h，则该合约价格为：
h(F0?F1)?S1
其中F0为期货合约的初始价格，将F1带入得：
hF0?S1?hS1ef（r－rf）(T??)
（r－r）(T??)如果h＝e，上式为hF0，该套期保值为零风险。
（r－r）T（b）如果套期保值的时间很短，?近似为0，h=e=S0/F0,此时最佳套期保值率为S0/F0。
f(c)由（b）知，若S为即期价格，F为期货价格，则S/F为保值率，假设N单位的外汇风险暴露,该期货合约的标的资产为M单位的外汇。则S/F为：
SNFM
SNFM由于期货合约采用逐日盯市制，所以期货合约数量总为
第四章 利率期货 4．1 解：由公式
F?，实际中该式是唯一的。
R2*T2?R1*T1 得： T2?T17.5%*2?8.0%*12?17.2%*3?7.5%*23?27.0%*4?7.2%*34?36.9%*5?7.0%*45?4第二年远期利率F2=
=7.0％ ＝6.6％ ＝6.4％ ＝6.5％
第三年远期利率F3＝第四年远期利率F4＝第五年远期利率F5＝4.2
解：当利率期限结构向上时，远期利率>零息票利率>附息票债券利率，即c>a>b; 当利率期限结构向下时，相反：b>a>c.
4.3
解：考虑面值为＄100的债券，它的价格是对各期现金流的现值和，贴现率既可选择债券的收益率，也可选择各期的即期利率。这里已知债券的年收益率为10.4％，半年为5.2％，用它作为贴现率计算价格：
41.052?41.0522?1041.0523?96.74
得到价格后，又可转而计算即期利率，已知半年和一年的即期利率为10%,设18个月的即期利率为R，则：
13
41.05?41.052?104(1?R2)3?96.74
解得R＝10.42％。
4.4
解：因为债券的现金价格＝债券报价+上一付息日至今的累计利息，上一付息日1996年10月12日至今的天数为89天，上一付息日到下一付息日1997年4月12日的天数为182天，因此，现金价格＝102+7*4.5
解：因为短期国债报价＝
36090132+100*12％*0.5*
89182＝105.15 。
*（100-现金价格）＝10
解得该短期国债的现金价格为97.5。 按连续复利计算的90天收益率为：3654.6
㏑（1+2.5/97.5）＝10.27％。
解：假设期限结构平行移动，即在某一时间段，所有期限债券的收益率作相同方向和幅度的改变。 4.7
解：应该卖空N份面值为10万美元的长期国债期货合约对资产进行保值。长期国债期货合约的面值为（108+15/32）*1000＝108468.75美元。
N?S*DSF*DF?6000000*8.2108468.75*7.6?59.68
四舍五入，需卖空60张面值为10万美元的长期国债期货合约对资产进行保值。 4.8
解：将数据代入公式
F?R2*T2?R1*T1，计算得到： T2?T1第2、3、4、5年的远期利率分别为：14.0％、15.1％、15.7％、15.7％。 4.9
解：将数据代入公式
F?R2*T2?R1*T1，计算得到： T2?T1第2、3、4、5、6季度的远期利率分别为：8.4％、8.8％、8.8％、9.0％、9.2％。 4.10
解：6个月和一年期短期国债到期前不支付利息，可按公式Rc?m㏑（1+6个月即期利率＝2*㏑（1+一年期即期利率＝㏑（1+
100?949489Rmm）计算：
）＝12.38％；
100?89）＝11.65％；
设1.5年和2年的付息债券的利率分别为R3和R4 ,对于1.5年的债券有下式成立：
4*e
?0.1238*0.5?4*e?0.1165*1.0?104*e?R3*1.5?94.84
14
解得R3＝11.5％。
对于2年的债券有下式成立：
5*e?0.1238*0.5?5*e?0.1165*1.0?5*e?0.115*1.5?105*e?R4*2.0?97.12
解得R4＝11.25％。 4.11
解：考虑持有两份息票利率为4％的债券多头和一份息票利率为8％的债券空头，则在0期现金净流出为：80*2-90＝70美元，1－9期利息收支相抵现金净流量为0，第十期现金净流入为：100美元。 因此以上债券组合相当于持有一个十年期、现价为70美元、中间无支付、到期还本的贴现债券。 设R为10年期即期利率，则：R＝
11010070㏑（）＝3.57％。
4.12
解：如果长期利率只是对未来短期利率的预期，人们预期未来利率上升和下降的机会是相等的，从而利率期限结构出现向上和向下的机会一样多。然而，现实中更多时候期限结构是向上的。这种现象可以用流动性偏好来解释。流动性偏好理论假设投资者偏好流动性好的短期投资，而借款者偏好长期固定的借款；金融机构发现他们必须用短期的存款为长期固定借款融资，而长期借款包含额外的利率风险，因此，为了减少长期借款的需求，同时增加长期存款的吸引力，金融机构提高长期利率，使得长期利率大于预期未来的即期利率。从而使得原本上升的收益率曲线更陡，原本轻微下降的收益率曲线变成向上倾斜，原本陡峭向下的收益率曲线变缓和。从而，出现了利率期限结构向上要多于向下的情况。 4.13
解：因为债券的现金价格＝债券报价+上一付息日至今的累计利息，上一付息日1998年1月27日至今为98天，上一付息日到下一付息日1998年7月27日为181天，每次付息100*12％*0.5＝6美元。因此，现金价格＝110+17/32+6*98/181＝113.7798美元，约为113.78美元。 4.14
解：交割最便宜的债券是使得：债券报价－期货报价*转换因子 最小的债券。 债券1：125. 15625－101 .375*1.2131＝2.178； 债券2：142.46875－101.375*1.3792＝2.625； 债券3：115.96875－101.375*1.1149＝2.946； 债券4：144.06250－101.375*1.4026＝1.874。 可见债券4是交割最便宜的债券。 4.15
解：时间图如下： 付息 177天 当前 付息 57天 交割日 127天 付息 5天 ① 计算最便宜债券的现金价格：S＝债券报价+上一付息日至今的累计利息＝110+177/182*6.5＝116.32；
e② 用公式F＝（S-I）
rT计算期货的现金价格：由于半年计复利为12％，转化为连续复利为：2㏑（1+0.12/2）
?5366*0.1165＝11.65％。 则 I＝ 6.5*e62?6.490，
F＝（116.32-6.490）*e366*0.1165＝112.02；
③ 期货报价＝期货的现金价格－上一付息日至到期日的累计利息
15