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2005—2007年江苏高考数学试卷
的比较分析与思考
翟荣俊
江苏省2007年高考数学试题“淡而有味，不落俗套，小题适中，大题偏难”。试题紧扣教材和《考试说明》，坚持重点内容重点考，特别是《考试说明》中的C级要求在试题中得到较好的体现。在“知识的交叉处命题”有新的突破，且没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，试卷很好的反映了高中新课程的理念，试卷注重常规数学思想方法以及通性、通法的考查，如换元法、待定系数法、化归法、分类讨论思想、函数方程思想等，试卷注重认识能力的考查，对审题能力和思维灵活性的要求较高，运算量适中。试题注重创新意识，不少题目较新，就连编排顺序也有新意，没有照搬前几年试题的格式，不落俗套。与2006年试卷相比较最明显的变化在于两点，一是在难度上有所下降，主要体现在小题部分，选择题未出现很难的问题，有利于考生进入状态；二是在考查的知识层面上，今年加大了对高中数学主干知识——函数内容的考查，2006年在前面80分的小题部分几乎未出现函数问题，这是很反常的情况，今年得以调整，这也有利于高中数学的实际教学把握。下面就近三年的高考试卷情况作一些分析和思考。
一、整体情况对照分析 1、选择题部分：
内容 集合 2005年 题号 （1）集合的运算 （8）对数函数 函数 （10）导数最值 （12）函数单调性 三角函数 不等式 排列组合二项式定理 统计与概率 立体几何 解析几何 （2）三角函数周期 （未出题） （3）排列组合计数 （7）二项式定理 （6）统计 （9）等可能事件概率 （4）球的体积 （5）圆锥曲线 （11）直线关系 易 易 易 易 易 易 难度 易 易 易 （未出题） 2006年 题号 （7）集合的运算 难度 易 2007年 题号 （2）集合的运算 （6）函数的对称性 （9）导数与不等式 易 易 （1）三角函数周期性 （5）三角函数单调性 （8）解对数不等式 （7）二项式定理 难度 易 易 难 易 （1）三角函数奇偶性 （4）三角函数图象变换 （8）不等式性质 （5）二项式定理 （3）平均数与方差 （10）等可能事件概率 （9）多面体体积 （2）直线与圆 （6）轨迹方程 中 易 易 中 易 易 中 易 难 难 易 易 （未出题） （4）线面关系 （3）圆锥曲线 （10）线性规划 易 易 中 中 2007年试卷的第1题到第10题是选择题，每个小题5分共50分。涉及到集合，函数，三角函
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数，不等式，二项式定理，立体几何，解析几何等内容，其中最后三道对一部分考生来讲，有一定的难度，第9题涉及跨知识点的结合（导数与不等式），第10题主要考查线性规划的灵活变换运用。 整个选择题起点较基础，没有出现偏题、怪题，总体比较适中、平稳，对于大多数考生是可以顺利完成的。选择题与去年最大的变化是函数部分。2006年的50分选择中未出现函数的选择题，整张试卷在小题部分对函数的考察明显偏少，而2007年对函数的考察加大了分值，但又不苛求难度和技巧，这种命题有利于高中教师对整个高中数学体系的把握。
2、填空题部分：
内容 2005年 题号 （13）二次函数及性质 难度 易 2006年 题号 （未出题） （11）正余弦定理运用 （14）三角函数求值 （15）数列求和 （16）解不等式 （13）排列组合计数 （未出题） 易 （12）线性规划 易 易 易 中 难 中 难度 2007年 题号 （13）导数最值问题 （16）构建函数模型 （11）三角函数变换 难度 易 难 易 函数 三角与平面向量 数列 不等式 排列组合 立体几何 解析几何 （16）向量的运算 （15）数列性质 （未出题） （未出题） （未出题） （14）直线与圆 易 易 （未出题） （12）排列组合计数 （14）点面距离问题 （15）圆锥曲线 易 中 易 2007年高考第11题到第16题是填空题，每个小题5分共30分。第11题直接用两角和与差的三角公式展开整理就可以得到结果；第12题是一道常规的排列组合问题也较容易（2006年的一道排列组合试题，是相同元素的排列与组合，是中学不研究的问题，命题超纲）；第14题是立体几何中的点到面的距离问题，思维量不大，但计算有些麻烦；第15题是圆锥曲线与三角问题想结合的研究背景，在变化中寻求不变量，本题采用特殊位置分析可以使本题很容易解决，第16题是一道构建函数模型的问题，能紧扣教材，联系三角函数，问题情境新但是考生也并不是不可以下手。
小题总结：10道选择题和6道填空题，涉及集合、函数、三角、立几、解几、排列组合、二
项式定理、导数、不等式等高中数学的绝大部分知识，注重考查学生的基础知识、基本技能。但并不刻意追求知识点的全面覆盖，突出对支撑数学学科知识体系的重点知识进行重点考查。同时试题多为常见题型，都可用一些常用方法得以解决，有利于考生充分展示自己的能力。尤其是与2006年的比较中可以看出变化最大的是今年高考加大了对函数的考查，而函数是整个高中数学体系的支撑内容，所以这种变化是科学和合理的，与2005高考相接近，但是在考察要求上又有所提高。
3、解答题部分：
题号 1 2 3 4 5 2005年 考查知识点 解析几何求轨迹方程 独立事件的概率 立体几何线面关系 三次函数及导数的运用 等差数列递推及不等式 难度 易 易 中 中 难 2006年 题号 解析几何求曲线方程 导数应用题（立几背景） 立体几何线面关系 二次函数及其性质 等差数列递推及不等式 难度 易 易 中 难 难 2007年 题号 独立事件的概率 立体几何线面关系 解析几何中切线问题 两种特殊数列综合运用 三次与二次函数综合运用 难度 易 易 中 难 难 2007年高考解答题共5大题，共70分，与前两年保持一致。在难度上与2006年相当，但比2005年要难一些。主要反映在后三题上，其中解答题的第三题（解析几何）的后两题，学生因为缺乏导数在解析几何中的灵活运用能力，可能会出现比较多的丢分。最后两题都起点比较高，相当一部分
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学生可能读不懂题目，不能理解问题的本质，所以最后两题的得分情况估计与2006年的最后两题情况相似。解答题具体的分析：
解析几何试题：
2005年是第19题12分，要求是求动点的轨迹方程，本题的起点不高，考生只要能建立起合适的坐标系就不难得到结果。作为一道很好的试题，它把几何的基本元素和性质转化为代数符号表示，体现了解析几何的基本思想和方法。
2006年是第17题12分。有两个小题，第1问5分，根据已知条件求一个椭圆方程，第2问7分，根据一个对称的条件求出一个双曲线的方程，此题难度不大，大多数考生都可以完成。本题紧扣圆锥曲线的定义入手，紧密联系教材与考纲，也是一道很不错的考题。
2007年是第19题（位置后移）14分，三个小问，其中第一问求值是比较简单的，但是第二、三小问是捆绑式的充要条件的证明问题。后两个小问与函数中的导数的运用相联系，虽然难度不大，但是在思维灵活性的考察上有一定的要求，估计考生在后两题的得分上不会很理想。本题主要考察学生跨知识点的运用能力和对问题的一种分析分解能力，题目比较新颖。
应用性问题：
2005年是第20题12分，考查的是独立事件的概率，题目意思清楚，学生在本题上也很容易拿分，不过第三小题对学生的文字理解还是有一点要求。
2006年是第18题14分，考查的是在立体几何背景下的函数最值问题，题型比较新，但是问题还是学生熟悉的，关键是考生能否认识问题的本质。对考生来讲选择适当的变量是解题的关键，不在计算上出现错误是基础，此题难度虽然不大，但是对而不全还是比较普遍。
2007年是第17题12分，考查的是与2005年相同的独立事件的概率，是学生比较熟悉的天气预报的概率问题，但是在运算上刻意追求小数作结果而不能用分数，可能有些与新课程理念相违背，本题难度不大，估计考生得分情况会比较乐观。
立体几何试题：
2005年是第21题14分，本题是一道值得商榷的题。选取的是平时教学中不多见的五棱锥作载体，学生感到有些不适应。并且第（3）问的二面角不容易找到，并且运算太繁，成功率很低。
2006年是第19题14分。本题有三个小题，载体是将一个三角形按一定的要求翻折后形成的几何体，先证明一个垂直关系，再求一个直线和平面所成的角，最后求一个二面角的大小，需要考生有一定的空间想象能力和基本功，利用空间坐标系解比较方便，传统的立体几何方法就不那么容易。
2007年是第18题12分，在分值上较之于前两年有所降低，考察的知识点还是延续了前两年的线面关系，采用的是学生比较熟悉的立方体为载体，题目意思比较清楚，估计考生在本题的得分上还是会比较乐观。
函数试题：
2005年是第22题14分，考查对参数的分类讨论和导数的运用，本题第一小问要求不高，但是第二小问对参数讨论的要求还是比较高的，在讨论中能结合参数范围再合理的运用导数知识分析单调性，从而研究出函数最值。 在此题的研究中，等价转化的体现，分类讨论的思想，都得到了充分的体现，是一道很好的考题。
2006年是第20题16分，有三个小题，第一小问是一个提示，先用换元法求一个函数式子，以及变量的取值范围，再在第二小问中加以应用，求出一个函数，第三小问是在第二小题的基础上加以解决的问题，涉及解方程。本题涉及的知识相当于初中，但是层层递进，前头出现错误后面就跟着错，对分类讨论要求很高，考生做得不理想，这也可能与平时思想方法的训练有关。
2007年是第21题（压轴题）16分，本题主要考查函数与方程、不等式的综合运用能力。考查综合运用分类讨论、等价转化等数学思想方法、分析问题及推理论证的能力。题目的第一小问作为铺
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垫起点较低，但是在后两个问题中都安排了分类讨论，要求比较高，本题考生最大的困难在于理解题意，考生普遍不能识别题目的本质为熟悉的二次函数的背景，从而导致对本题的解答会很不理想。
数列试题：
2005年是第23题（压轴题）14分，考查的是等差数列、递推关系式的处理及不等式的运用。本题牵涉的证明方法中要用到两次作差，这在教学实际中极为罕见，考的比较偏，有悖于考纲的要求。
2006年是第21题（压轴题）14分，证明一个数列成等差数列的充分必要条件是另一个数列成等差数列，涉及三个数列，题目的叙述简洁，跨度较大。是一道类似于竞赛试题的题目，必要性容易证明，充分性的证明很困难，做出的人寥寥无几，可见本题思维层次过高，导致绝大多数考生本题无法入手解决。
2007年是第21题16分，考查的是等差数列与等比数列的综合运用，本题对于高中的教学具有正确的引领作用，前两年中出现的偏难的等差数列与递推关系和不等式的综合运用与新课程中的教学内容不相符合。今年的试题考查的是数列中考生最熟悉的特殊数列的通项公式、求和公式、运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力。背景来自于课本但是又高于课本，是一道很好的试题。
解答题总结：2007年的五道解答题由易到难，且每道解答题都是安排的三个小问，分散了难
点，入手容易，即使不会全做，也能解答一部分。考查的内容与往年相近，但是试题安排更合理，难度梯度科学，区分度较好。
二、几点思考
1．学生在应试方面普遍还存在的问题：
（1）审题关——不清楚题目的要求，找不到解题的突破口；
（2）运算关——数值计算、式子的组合变形与分解变形，分析运算条件，合理估值或近似计算等还普遍存在一些不足；
（3）规范表达关——书写潦草、凌乱、跳步作答，缺乏条理，没有明确的解题策略和解题目标。 2．对2008年高考复习的建议：
高考复习要树立这样的指导思想：那就是你做的题，包括老师所选的例题不过是一种知识载体。所以我们的任务就是通过这一知识载体去发现、挖掘其中不变的数学内涵，即数学的基础知识和基本技能、数学的通性通法。抓住了基础就抓住了根本；抓住了通性通法，就抓住了数学对象的基本性质，处理数学问题的基本的、常用的数学思想方法，如归纳、演绎、分析、综合、分类讨论、数形结合等。抓住了基本的数学思想方法就抓到了探索数学问题的结论或条件，在创造性思考问题基础上对较简单问题得出一些新颖结果的关键。具体地说：
（1）复习要重视课本，做到低起点、宽范围，全面而系统地整理知识、构建知识网络，即注重“看”：把课本所有内容要完整地看一遍，拎出知识结构网，在理解知识的发生、发展过程的基础上，熟记数学概念、定义、公式、定理等巩固完善自身知识结构。注重“练”：演练具有代表性的习题练习，体会如何运用基础知识解决问题，提炼具有普遍性的解题方法。
（2）解题训练与纠错并举，坚持定期定时做综合练习。平时做题做到：想明白、说清楚、算准确。做好反思总结。对于一些易错题型，师生都应做好纠错登记，以便可以不断的反复，加深印象。
（3）加强运算能力的训练和培养，重视培养“一次算对”的良好习惯。另外在平时练习中还要强化学生审题能力的训练。
（4）常抓答题规范要求，要求学生做到数学的书写规范工整，论证要有理有据，做到步步为营。 （5）教师要研究新课程与老教材共性的地方和不同之处，重新审视高考的命题方向，在复习中多学习多研究，收集各种信息，分析2008年数学高考的走向。
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综观今年江苏的高考数学试卷，在保持稳定的基础上，处处体现出“新意”，新的题型设计，新的结构模式，新课改的指导思想。这对今后的数学教学提出了新的要求，教师不仅要象以前那样强调基础知识与解题思路，更关键的是还要加倍重视培养学生灵活运用所学知识与方法去分析、解决问题的能力。绝不能再以“题海战术”的形式，或以教师示范、学生模仿为主的教学风格去应对高考，而应是让学生更自主、更开放地去锻炼和培养自己分析问题和解决问题的能力。
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