§8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
?平行
?共面直线??
??相交?
?异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． π0，?. ②范围：??2?3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ ) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × ) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.( × ) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × ) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ )
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1．下列命题正确的个数为( ) ①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．
2．(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 答案 D
解析 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，此时l1与l4相交，可以排除选项B.故选D.
3．(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________． 答案 45° 60°
解析 ∵BC与EG所成的角等于AC与BC所成的角即∠ACB，tan∠ACB＝∴∠ACB＝45°，
GF23∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝3，∴∠GBF
BF2＝60°.
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4．已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥(AC＋
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BD)；②MN>(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN<(AC＋BD)．
222其中正确的是________．
AB23
＝＝1，BC23
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答案 ④
解析 如图，取BC的中点O， 连接MO、NO，
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则OM＝AC，ON＝BD，
22在△MON中，MN ＝(AC＋BD)， 2∴④正确． 题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点． 思维点拨 第(2)问先证CE与D1F交于一点，再证该点在直线DA上． 证明 (1)连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF 则由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点． 思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据． - 3 - 如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形 1 ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD， 21 BE∥AF且BE＝AF，G、H分别为FA、FD的中点． 2(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD， 1 可得GH綊AD. 2 1 又BC綊AD，∴GH綊BC. 2∴四边形BCHG为平行四边形． 1 (2)解 ∵BE綊AF，G是FA的中点，∴BE綊FG， 2∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面． 题型二 判断空间两直线的位置关系 例2 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( ) A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 (2)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) 思维点拨 (1)连接B1C，B1D1，则点M点是B1C的中点，证明MN∥B1D1；(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面，再利用异面直线的判定定理判定． 答案 (1)D (2)②④ 解析 (1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1， ∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1， - 4 - ∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD. 又∵A1B1与B1D1相交， ∴MN与A1B1不平行，故选D. (2)图①中，直线GH∥MN； 图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图④中，G、M、N共面，但H?面GMN， 因此GH与MN异面． 所以图②④中GH与MN异面． 思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a， C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线． 证明 方法一 (反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内， ∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立， ∴AD和BC是异面直线． 方法二 (直接证法)∵a∩c＝P，∴它们确定一个平面， 设为α，由已知C?平面α，B∈平面α，BC?平面α，AD?平面α，B?AD， ∴AD和BC是异面直线． 题型三 求两条异面直线所成的角 例3 空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小． 思维点拨 取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角． 解 取AC的中点G，连接EG、FG， 11 则EG綊AB，FG綊CD， 22由AB＝CD知EG＝FG， ∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角． ∵AB与CD所成的角为30°， - 5 -