大题规范练(二) “17题～19题＋二选
一”46分练
(时间：45分钟 分值：46分)
解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图4，已知点O为△ABC的外心，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为
→＋3OB→＋4OC→＝0.
a，b，c，且2OA
图4
(1)求cos∠BOC的值；
(2)若△ABC的面积为15，求b2＋c2－a2的值.
→＋3OB→＋4OC→＝0得3OB→＋4OC→
[解] (1)设△ABC外接圆的半径为R，由2OA→， ＝－2OA
两边平方得9R2＋16R2＋24R2cos∠BOC＝4R2， －21R27
所以cos∠BOC＝24R2＝－8.
π??
(2)由题意可知∠BOC＝2∠BAC，∠BAC∈?0，2?，cos∠BOC＝cos 2∠BAC
??71
＝2cos2∠BAC－1＝－8，从而cos∠BAC＝4， 15
所以sin∠BAC＝1－cos2∠BAC＝4，
115
△ABC的面积S＝2bcsin∠BAC＝8bc＝15，故bc＝8， 1
从而b2＋c2－a2＝2bccos∠BAC＝2×8×4＝4.
18．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 x y 555 601 559 605 551 597 563 599 552 598 (1)从特征量y的5次试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；
^x＋a^，并预测当特征量x为570时(2)求特征量y关于x的线性回归方程^y＝b特征量y的值．
^^^^(附：回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝
i＝1
? ?xi－x??yi－y?
? ?xi－x?2
n
n
^＝y－b^x) ，a
i＝1
[解] (1)记“至少有一个大于600”为事件A，
2C37
则P(A)＝1－C2＝10.
5
(2)由题中表格可知，x＝
555＋559＋551＋563＋552
＝556，y＝
5
601＋605＋597＋599＋598
＝600.
5^＝∴b
－1×1＋3×5＋?－5?×?－3?＋7×?－1?＋?－4?×?－2?30
＝100＝0.3，
?－1?2＋32＋?－5?2＋72＋?－4?2^＝y－b^x＝600－0.3×556＝433.2， a
∴线性回归方程为^y＝0.3x＋433.2.
当x＝570时，^y＝0.3×570＋433.2＝604.2， 故特征量x为570时，特征量y的估计值为604.2.
19．在平面四边形ACBD(如图5(1))中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公
共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图5(2)所示的三棱锥C′-ABD，且使C′D＝2.
图5(1) 图5(2)
(1)求证：平面C′AB⊥平面DAB； (2)求二面角A-C′D-B的余弦值．
[解] (1)证明：取AB的中点O，连接C′O，DO， 在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，C′O＝DO＝1. 又∵C′D＝2，
∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD.
又∵C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD?平面ABD， ∴C′O⊥平面ABD.
又∵C′O?平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB.
(2)以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
?31?
则A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C′(0,0,1)，D?，，0?，
?22??31?→′＝(0,1,1)，BC→′＝(0，－1,1)，C→
∴AC′D＝?，，－1?.
?22?设平面AC′D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， →′，→′＝0，???n1⊥AC?n1·AC
则?即?
→→??C′D＝0，?n1⊥C′D，?n1·
?y1＋z1＝0，
?3x＋1y－z＝0，?21211
令z1＝1，则y1＝－1，x1＝3，