第5章 连续时间信号的抽样与量化
5.1 试证明时域抽样定理。
证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
?T(t)?n?????(t?nT)
s?由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
Fs(?)?1?F(?)??T(?)? 2?1 ?Tsn????F????n???
s?式中F(?)为原信号f(t)的频谱，?T(?)为单位冲激序列?T(t)的频谱。可知抽样后信号的频谱Fs(?)由F(?)以
这意味着如果?s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，
?s?2?m，抽样后的信号fs(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果?s?2?m，即抽样
间隔Ts?1，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建2fm1，f(t)才能由fs(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。 2fm原信号。 因此必须要求满足Ts?5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）Sa(50t)
（2）Sa(100t)
（4）Sa(100t)?Sa(60t)
22（3） Sa(50t)?Sa(100t)
解：抽样的最大间隔Ts?12fm称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs?2fm称为奈奎斯特速率，最低采样频率?s?2?m称为奈奎斯特频率。 （1）Sa(50t)??50[u(??50)?u(??50)]，由此知?m?50rad/s，则fm?50，奈奎斯特间隔Ts?25?，
由抽样定理得：最低抽样频率fs?2fm??1??。 fs50（2）Sa(100t)?2?100(1?) 200100?脉宽为400，由此可得?m?200rad/s，则fm??，由抽样定理得最低抽样频率
fs?2fm?200?，奈奎斯特间隔Ts?1?。 ?fs200（3）Sa(50t)??50[u(??50)?u(??50)]，该信号频谱的?m?50rad/s
Sa(100t)??100[u(??100)?u(??100)],该信号频谱的?m?100rad/s
50Sa(50t)?Sa(100t)信号频谱的?m?100rad/s,则fm?抽样频率fs?2fm?（4）Sa(100t)??，由抽样定理得最低
100?，奈奎斯特间隔Ts?1?。 ?fs100?100[u(??100)?u(??100)],该信号频谱的?m?100
Sa2(60t)??60(1?)，该信号频谱的?m?120rad/s 12060?所以Sa(100t)?Sa2(60t)频谱的?m?120rad/s, 则fm?低抽样频率fs?2fm??，由抽样定理得最
120?，奈奎斯特间隔Ts?1?。 ?fs1205.3 系统如题图5.3
?所示，f1(t)?Sa(1000?t)，f2(t)?Sa(2000?t)，
p(t)?n?????(t?nT)，f(t)?f(t)f12(t)，fs(t)?f(t)p(t)。
（1）为从fs(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔Tmax。
（2）当T?Tmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs(?)。
f1(t) 时域相乘 f(t) 时域抽样 fs(t) f2(t) 题图 5.3
解：
（1）先求f(t)的频谱F(j?)。
p(t)
f1(t)?Sa(1000?t)?F1(j?)?1[u(??1000?)?u(??1000?)] 1000f2(t)?Sa(2000?t)?F2(j?)?1[u(??2000?)?u(??2000?)] 2000F(j?)??1F1(j?)?F2(j?)2?111[(u(??1000?)?u(??1000?))?(u(??2000?)?u(??2000?)]2?100020001??10?6?{(??3000?)[u(??3000?)?u(??1000?)]4??2000?[u(??1000?)?u(??1000?)]?(???3000?)[u(??1000?)?u(??3000?)]}
由此知F(j?)的频谱宽度为6000?，且?m?3000?的最大允许间隔Tmax??rad/s，则fm?1500Hz，抽样
11?s 2fm3000（2）p(t)?n?????(t?nT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(t)进行采样，设原输
入信号f(t)的频谱密度为F(?)，而单位冲激序列的频谱密度为：
2?p(?)?Tn?????(??n?s) 其中
??s?2? T则根据频域卷积定理得抽样信号fs(t)的频谱为：
11?Fs(?)?[F(?)*p(?)]??F(??n?s)
2?Tn???而T?Tmax，则?s?
5.4 对信号f(t)?eu(t)进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。
解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：
?t2??3000?2??6000?Tmaxrad/s，幅度谱如下图所表示。
F(j?)?其幅度频谱和相位频谱分别为
1
1?j?F(j?)?11??2
?(?)??arctan?
单边非因果指数函数的波形f(t)、 幅度谱F(j?)、相位谱?(?)如下图所示，其中a?1。
?(?)
单边指数信号的波形和频谱
显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后的频谱是将原信号频谱以抽样频率?s为周期进行周期延拓，幅度变为原来的
1而得到。图Ts略。
5.5 题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的
时域波形如何？以图解法说明。
x(t) -50 0 50 t/ms
题图 5.5
解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。由此可知，脉宽为?幅度为E的三角形脉冲其频谱为
?E2Sa(??4)2。其波形如图所示。
X(j?)E?2?8???4??04??8??? 三角函数的频谱
在x(t)中，??100ms?0.1s易求得x(t)的频谱为：
X(j?)?0.05ESa(0.025?)2
在??4??k?k?40?(k为整数)处，X(j?)为零，图略。
由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：
1Xs(j?)?Ts其中Ts?n????X?j???n???
s?11??0.05s，?s?2?fs?40?rad/s。抽样后的频谱是将三角形fs20Hz1，可见发生了频谱混叠现象。 Ts频谱以?s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的
5.6 若连续信号f(t)的频谱F(?)是带状的(?1～?2)，利用卷积定理说明当?2?2?1时，
最低抽样频率只要等于?2就可以使抽样信号不产生频谱混叠。 证明：由频域卷积定理的抽样信号的频谱为
Fs(?)?1?F(?)??T(?)? 2?n???
12??[F(?)*2?Ts?1Ts?n?????(w?n?)]s?
?F????n???s抽样后的频谱是以抽样频率?s为周期做了周期延拓，幅度则变为原来的
1。由于频谱TsF(?)是带状的且?2?2?1，所以当?s??2时频谱不会混叠。
5.7 如题图5.7所示的系统。求：
（1）求冲激响应函数h(t)与系统函数H(s)；
（2）求系统频率响应函数H(?)，幅频特性H(?)和相频特性?(?)，并画出幅频和
相频特性曲线；
（3）激励f(t)??u(t)?u(t?T)?，求零状态响应y(t)，画出其波形； （4）激励fs(t)??f(nT)?(t?nT)，其中T为奈奎斯特抽样间隔，f(nT)为点上
n?0??f(t) 的值，求响应y(t)。
f(t) + ?- ? y(t)
题图 5.7
延迟T 解：（1）由图可知y?t???f?t??f?t?T??*u?t?
?1?e?
两边求拉氏变换可得Y?s??F?s??Tss?1?e?
所以H?s???Tss（2）图略
1?e?Ts（3）f(t)的拉氏变换为F?s??
s?1?e?零状态响应得拉氏变换为Y?s??H?s?F?s??s2?Ts2
求拉氏反变换可得y???t?ut??2?t?T?u?t?T???t?2T?u?t?2T?
?1?e?可得h(t)?u?t??u?t?T?
（4）由H?s???Tss而y?t??fs?t?*h?t???f?nT???t?nT?*?u?t??u?t?T??
ssn?0sss?? ?
?f?nT??u?t?nT??u?t?nT?T??
n?0??