§第三章 空间向量与立体几何（复习）
学习目标
1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；
2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 学习过程 一、课前准备
复习1：如图，空间四边形OABC中，OA?a,OB?b,OC?c.点M在OA上，且OM=2MA, N为BC中点，则MN?
复习2：平行六面体ABCD?A'B'C'D'中，AB?aAD?b,AA'?c，点P,M,N分别是
CA',CD',C'D'的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'?4:1,用基底a,b,c表示下列向量：
??⑴ AP; ⑵ AM; ⑶ AN; ⑷ AQ.
※主要知识点：
1. 空间向量的运算及其坐标运算：
空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.
2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算 ※ 典型例题
例1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且F1?F2?F3?200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？
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变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？
小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.
例2 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
?ABC?90?,CB?1,CA?2,AA1?6,点M是CC1的中点，求证：AM?BA1.
变式：正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MN?AB.
例3 如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别在BB1,DD1上，且
AE?A1B,AF?A1D.
⑴ 求证：AC?平面AEF; 1⑵ 当AB?4,AD?3,AA1?5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的余弦值. ※ 动手试试
练1. 如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a. ⑴试建立适当的坐标系，写出点A,B,A1,C1的坐标 ⑵求AC1的侧面ABB1A1所成的角.
练2. 已知点A(1,-2,0),向量a???3,4,12?，求点B的坐标，使得AB//a，且AB?2a.
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同；
2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.
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※ 知识拓展
若二面角两个面的法向量分别是n1,n2，二面角为?则cos???cosn1,n2，而 cos?n1,n2??n1?n2.|n1||n2|学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.已知a??1,1,0?,b???1,0,2?，且(ka?b)?(2a?b)，则k＝ ； 2. 已知a??1?t,2t?1,0?,b??2,t,t?，则b?a的最小值是（ ） A.
5 B.
6 C.
2 D.
3 3.空间两个单位向量OA??m,n,0?,OB??0,n,p?与OC??1,1,1?的夹角都等于
cos?AOB? ?，则4
4.将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，异面直线AB,CD所成角的余弦值为 .
5. 正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，则MN＝（ ） AM?AC1,N是BB1的中点，A.
216a B. a C. 6615a D. 615a 313课后作业
如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F,G分别为DD1,BD,BB1的中点.
⑴ 求证：EF?CF;
⑵ 求EF与CG所成角的余弦值； ⑶ 求CE的长.
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