北师大版选修2-1【专题复习】直线和圆锥曲线的位置关系（无答案）
直线与圆锥曲线
题型一：直线与双曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看，可以分为三类：无公共点；仅有一个公共点；有两个不同的公共点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2?bx?c?0。 ①.若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若a?0，设??b2?4ac。
??0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 ??0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 ??0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
例1.已知直线L:y?kx?1与双曲线C:x2?y2=4。
⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围； ⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k的范围； ⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围； ⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围； ⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。
练习1、已知直线y?x?m和椭圆4x2?y2?1。当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值
范围
练习2、求过点（0,1）与抛物线y2?mx?m?0?只有一个公共点的直线的方程。
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题型二：弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题：设而不求。直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，然后再进行整体带入求解。
设直线
?斜率为k?与圆锥曲线交于点A?x1,y1?，B?x2,y2?时，则
AB=1?k2x1?x2=1?k2=1?111?=y?y2k21k2?x1?x2?2?4x1x2 ?y1?y2?2?4y1y2
x2y2例2.过双曲线??1的右焦点F2，倾斜角为300的直线交双曲线于A、B两点，求AB。
36
14x2练习1、过点P（0,2）的直线与椭圆?y2?1相交于A,B两点，且弦长AB?，该直
32线的方程。
练习2、求过抛物线y2?4x的焦点F且长为36的弦所在的直线的方程。
练习3、已知椭圆4x2?y2?1及直线y?x?m。求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程
题型三：中点弦问题：
求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：
⑴.点差法（设点作差的方法）：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦
的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；
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⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或y）的一元二次
方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程；
⑶.设弦的两个端点分别为?x1,y1?,?x2,y2?，则这两点坐标分别满足曲线方程，又
?x1?x2y1?y2?,??为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而22??求出弦的方程。
x2y21例3.已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率e?，且椭圆经过点N（2,-3）
ab2（1）求椭圆的方程
（2）求椭圆C以M（-1,2）为中点的弦所在的直线方程
x2y2练习1、如果椭圆??1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
369A.x?2y?0 B.x?2y?4?0 C.2x?3y?12?0 D.x?2y?8?0
练习2、已知双曲线方程2x2?y2=2。
⑴求以A?2,1?为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
⑵过点?1,1?能否作直线L，使L与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为?1,1?？如果存在，求出直线L的方程；如果不存在，说明理由。
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