【最新版】全国各中考数学试题分考点解析汇编圆的有关性质

和含300角的直角三角形BDC,知BC=2DC,从而由已知的四边形ABCD的周长为l5,即可求。 (2)连接OA,OD,这样图中阴影部分的面积即等于扇形AOD面积减去△AOD即可。 14.(2011广东佛山6分)如图,已知AB是求△AOB的面积。

【答案】解:如图,作OC⊥AB于点C。则有

?AOB?120?,O的弦,半径OA?20cm,

1AC?CB , ?AOC??AOB?60?2 。

在Rt?AOC中,OA?20cm , ?AC?AO?sin600?103cm , OC?10cm 。

?S?AOB?1?AB?OC?1003?cm?。2

【考点】垂径定理,解直角三角形。

【分析】作弦心距,由垂径定理,可利用解直角三角形求出△AOB的底和高,从而求出面积。 15.(2011广东深圳8分)如图1,在⊙O中,点C为劣弧AB的中点,连接AC并延长至D,使CA=CD,连接DB并延长交⊙O于点E,连接AE. (1)求证:AE是⊙O的直径;

(2)如图2,连接CE,⊙O的半径为5,AC长 为4,求阴影部分面积之和.(保留?与根号) 【答案】解:(1)证明:如图,连接AB、BC,

∵点C是劣弧AB上的中点,∴CA?CB。∴CA=CB 。 又∵CD=CA , ∴CB=CD=CA 。

1 ∴在△ABD中,CB=2AD。 ∴∠ABD=90°。∴∠ABE=90°。

∴AE是⊙O的直径。

(2) 如图,由(1)可知,AE是⊙O的直径, ∴∠ACE=90°。 ∵⊙O的半径为5,AC=4 , ∴AE=10,⊙O的面积为25π 。 在Rt△ACE中,∠ACE=90°,由勾股定理,得:

22CE= AB?AC?221

11S?ACE??AC?CE??4?221?42122∴ 1125?S阴影?S⊙O?S?ACE??25??421??421222∴

【考点】直角三角形的判定,直径与圆周角的关系,勾股定理。

【分析】(1)要证AE是⊙O的直径,只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作辅助线连接AB、BC,由已知的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。

(2) 求阴影部分面积之和,只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。 16. (2011江西省A卷8分)如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为23,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外). (1)求∠BAC的度数; (2)求△ABC面积的最大值.

sin60?333tan30?cos30?3.) 2 ,2,

(参考数据:

【答案】解:(1)连接BO并延长,交⊙O于点D,连接CD。 ∵BD是直径,∴BD=4,?DCB?90。

BC233??BD42,

00 在Rt△DBC中,

sin?BDC? ∴?BDC?60,∴?BAC??BDC?60。

(2) 因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处。

过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC, 则AB=AC,

?BAE?1?BAC?3002。

0 在Rt△ABE中,∵BE?3, ?BAE?30,

AE?BE?tan30333?3 ∴

1?23?3?332。 ∴S△ABC=。

答:△ABC面积的最大值是33。

【考点】垂径定理,圆周角定理,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。 【分析】(1)连接BO并延长,交⊙O于点D,连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质,,

在Rt△DBC中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出?BDC的度数,再由圆周角定理即可求解。

(2))因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A应落在优弧BC的中点处,过OE⊥BC与点E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点,连接AB,AC,则AB=AC,由圆周角定理可求出∠BAE的度数,在Rt△ABE中,利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长,由三角形的面积公式即可解答。 17.(2011湖北襄阳7分)如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为E,D是优弧BC上一点,连接 BD,AD,OC,∠ADB=30°. (1)求∠AOC的度数;

(2)若弦BC=6cm,求图中阴影部分的面积. 【答案】解:(1)∵BC⊥OA,BE=CE, BA=CA。 又∵∠ADB=30°,∴∠AOC=60°。 (2)连接OB,

1∵BC=6,∴CE=2BC=3,

CE3??23sin?AOC32在Rt△OCE中,OC=, 1∴OE=2OC=3。

又∠BOC=2∠AOC=120°,

120???23∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=

??23601??6?3?4??332。

【考点】垂径定理,勾股定理,圆周角定理,锐角三角函数,扇形面积的计算。

【分析】(1)先根据垂径定理得出BE=CE, BA=CA,再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数、

(2)连接OB,由锐角三角函数和勾股定理得出OC、OE的长,求出∠BOC的度数,然后根据S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC计算即可。

18.(2011湖北荆门10分)某河道上有一个半圆形的拱桥,河两岸筑有拦水堤坝,其半圆

形桥洞的横截面如图

所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切,上、下桥斜面的坡度i=1∶3.7,桥下水深OP=5米,

水面宽度CD=24米.设半圆的圆心为O,直径AB在坡角顶点M、N的连线上,求从M点上坡、过桥、

1下坡到N点的最短路径长.(参考数据:π≈3,3≈1.7,tan15°=2?3)

【答案】解:连接OD、OE、OF,

1由垂径定理知:PD=2CD=12(m)

在Rt△OPD中,

2222OD=PD+OP?5?12?13(m),

∴OE=OD=13m。

1∵tan∠EMO=i= 1∶3.7 ,tan15°=2?3?1?1:3.72?1.7,∴∠EMO=15°。

由切线性质知∠OEM=90°,∴∠EOM=75°。 同理得∠NOF=75°。

∴∠EOF=180°-75°×2=30°。

13OE13?在Rt△OEM中,tan∠EMO=EMEM,∴tan15°=EM。 13?13?3.7?48.1tan15?∴EM=(m)。

30??13⌒ 的弧长=180=6.5(m)。 EF

∴48.1×2+6.5=102.7(m)。

即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米。

【考点】解直角三角形的应用(坡度坡角问题),垂径定理,锐角三角函数定义,勾股定理。 ⌒ +FN,连接【分析】首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME+EF

如图,把实际问题转化为直角三角形问题,由已知求出OD即半径,再由坡度i=1∶3.7和

1tan15°=2?3≈1∶3.7,得出∠M=∠N=15°,因此能求出ME和FN,所以求出⌒ 的长,从而求∠EOM=∠FON=90°-15°=75°,则得出⌒EF 所对的圆心角∠EOF,相继求出EF出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长。

19.(2011湖北恩施8分)如图,已知AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线,过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C,垂足为M. (1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)当BC=BD,且BD=6cm时,求图中阴影部分的面积(结果不取近似值). 【答案】解:(1)证明:连接OC。

∵OD⊥BC,O为圆心,∴OD平分BC。∴DB=DC。 ∴△OBD≌△OCD(SSS)。∴∠OCD=∠OBD。 又∵AB为⊙O的直径,BD为⊙O的切线, ∴∠OCD=∠OBD=90°,∴CD是⊙O的切线。 (2)∵DB、DC为切线,B、C为切点,∴DB=DC。 又DB=BC=6,∴△BCD为等边三角形。

∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°,∠OBM=90°﹣60°=30°,BM=3。 ∴OM=3,OB=23.

120???23∴S阴影部分=S扇形OBC﹣S△OBC=∴阴影部分的面积为4??33cm2。

??23601??6?3?4??332。

【考点】切线的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,扇形面积的计算。

【分析】(1)连接OC,证明∠OCD=90°.根据垂径定理得OD垂直平分BC,所以DB=DC.从而△OBD≌△OCD,得∠OCD=∠OBD=90°。

(2)阴影面积=S扇形OBC-S△OBC.根据切线长定理知△BCD为等边三角形,可求∠BOC

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