和含300角的直角三角形BDC，知BC=2DC，从而由已知的四边形ABCD的周长为l5，即可求。 （2）连接OA，OD，这样图中阴影部分的面积即等于扇形AOD面积减去△AOD即可。 14.（2011广东佛山6分）如图，已知AB是求△AOB的面积。
【答案】解：如图，作OC⊥AB于点C。则有
?AOB?120?，O的弦，半径OA?20cm，
1AC?CB , ?AOC??AOB?60?2 。
在Rt?AOC中，OA?20cm ， ?AC?AO?sin600?103cm , OC?10cm 。
?S?AOB?1?AB?OC?1003?cm?。2
【考点】垂径定理，解直角三角形。
【分析】作弦心距，由垂径定理，可利用解直角三角形求出△AOB的底和高，从而求出面积。 15.（2011广东深圳8分）如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE. （1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长 为4，求阴影部分面积之和.(保留?与根号) 【答案】解：（1）证明：如图，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点，∴CA?CB。∴CA＝CB 。 又∵CD＝CA ， ∴CB＝CD＝CA 。
1 ∴在△ABD中，CB=2AD。 ∴∠ABD＝90°。∴∠ABE＝90°。
∴AE是⊙O的直径。
(2) 如图，由（1）可知，AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°。 ∵⊙O的半径为5，AC＝4 ， ∴AE＝10，⊙O的面积为25π 。 在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：
22CE= AB?AC?221
11S?ACE??AC?CE??4?221?42122∴ 1125?S阴影?S⊙O?S?ACE??25??421??421222∴
【考点】直角三角形的判定，直径与圆周角的关系，勾股定理。
【分析】（1）要证AE是⊙O的直径，只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作辅助线连接AB、BC，由已知的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。
(2) 求阴影部分面积之和，只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。 16. （2011江西省A卷8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）． （1）求∠BAC的度数； （2）求△ABC面积的最大值．
sin60?333tan30?cos30?3.） 2 ，2，
（参考数据：
【答案】解：(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。 ∵BD是直径，∴BD=4，?DCB?90。
BC233??BD42，
00 在Rt△DBC中，
sin?BDC? ∴?BDC?60，∴?BAC??BDC?60。
(2) 因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处。
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC， 则AB=AC，
?BAE?1?BAC?3002。
0 在Rt△ABE中，∵BE?3, ?BAE?30，
AE?BE?tan30333?3 ∴
1?23?3?332。 ∴S△ABC=。
答：△ABC面积的最大值是33。
【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD。由直径所对圆周角是直角的性质，，
在Rt△DBC中利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出?BDC的度数，再由圆周角定理即可求解。
（2））因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处，过OE⊥BC与点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点，连接AB，AC，则AB=AC，由圆周角定理可求出∠BAE的度数，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值可求出AE的长，由三角形的面积公式即可解答。 17.（2011湖北襄阳7分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接 BD，AD，OC，∠ADB=30°． （1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积． 【答案】解：（1）∵BC⊥OA，BE=CE， BA=CA。 又∵∠ADB=30°，∴∠AOC=60°。 （2）连接OB，
1∵BC=6，∴CE=2BC=3，
CE3??23sin?AOC32在Rt△OCE中，OC=， 1∴OE=2OC=3。
又∠BOC=2∠AOC=120°，
120???23∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=
??23601??6?3?4??332。
【考点】垂径定理，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数，扇形面积的计算。
【分析】（1）先根据垂径定理得出BE=CE， BA=CA，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数、
（2）连接OB，由锐角三角函数和勾股定理得出OC、OE的长，求出∠BOC的度数，然后根据S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC计算即可。
18.（2011湖北荆门10分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆
形桥洞的横截面如图
所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1∶3.7，桥下水深OP＝5米，
水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、
1下坡到N点的最短路径长.（参考数据：π≈3，3≈1.7，tan15°＝2?3）
【答案】解：连接OD、OE、OF，
1由垂径定理知：PD＝2CD＝12（m）
在Rt△OPD中，
2222OD＝PD+OP?5?12?13（m），
∴OE＝OD＝13m。
1∵tan∠EMO=i= 1∶3.7 ，tan15°＝2?3?1?1:3.72?1.7，∴∠EMO＝15°。
由切线性质知∠OEM＝90°，∴∠EOM=75°。 同理得∠NOF＝75°。
∴∠EOF＝180°－75°×2＝30°。
13OE13?在Rt△OEM中，tan∠EMO＝EMEM，∴tan15°=EM。 13?13?3.7?48.1tan15?∴EM＝（m）。
又
30??13⌒ 的弧长＝180＝6.5（m）。 EF
∴48.1×2+6.5＝102.7（m）。
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。 ⌒ +FN，连接【分析】首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME+EF
如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出OD即半径，再由坡度i=1∶3.7和
1tan15°＝2?3≈1∶3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出⌒ 的长，从而求∠EOM=∠FON=90°－15°=75°，则得出⌒EF 所对的圆心角∠EOF，相继求出EF出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长。
19.（2011湖北恩施8分）如图，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C，垂足为M． （1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）当BC=BD，且BD=6cm时，求图中阴影部分的面积（结果不取近似值）． 【答案】解：（1）证明：连接OC。
∵OD⊥BC，O为圆心，∴OD平分BC。∴DB=DC。 ∴△OBD≌△OCD（SSS）。∴∠OCD=∠OBD。 又∵AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线， ∴∠OCD=∠OBD=90°，∴CD是⊙O的切线。 （2）∵DB、DC为切线，B、C为切点，∴DB=DC。 又DB=BC=6，∴△BCD为等边三角形。
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3。 ∴OM=3，OB=23．
120???23∴S阴影部分=S扇形OBC﹣S△OBC=∴阴影部分的面积为4??33cm2。
??23601??6?3?4??332。
【考点】切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算。
【分析】（1）连接OC，证明∠OCD=90°．根据垂径定理得OD垂直平分BC，所以DB=DC．从而△OBD≌△OCD，得∠OCD=∠OBD=90°。
（2）阴影面积=S扇形OBC－S△OBC．根据切线长定理知△BCD为等边三角形，可求∠BOC