相切于点C可知OC是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求OA的长。
(Ⅱ)由四边形ODCE为菱形可得△ODC为等边三角形，从而得300角的直角三角形OAC，根据300角所对的边是斜边的一半的性质得到所求。
2.（2011上海10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长；
（2）若
tan?C?12，求弦MN的长．
OAOB?【答案】解：（1）∵CD∥AB， ∴△OAB∽△OCD。∴OA?ACOD。 33?又∵OA=OB=3，AC=2，∴ 3?2OD，∴OD=5。 1（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=2MN， 1∵tan∠C= 2，∴设OE=x，则CE=2x。
在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即52=x2+（2x）2，解得x= 5。 在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即32=（ 5）2+ME2，解得ME=2。 ∴MN=4。
【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。 【分析】（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长。
11（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME= 2MN，再根据tan∠C= 2可求出OE
的长，利用勾股定理即可求出ME的长，从而求出答案。
3.（2011辽宁抚顺10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC＝30°. (1)求证：CF为⊙O的切线．
(2)若半径ON⊥AD于点M，CE＝3，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：(1) 证明：连接OC、BC， ∵ CD垂直平分OB，∴ OC＝BC。
∵ OB＝OC，∴ OB＝OC＝BC。∴ △OCB是等边三角形。 ∴ ∠BOC＝60°。
∵ ∠CFO＝30°，∴ ∠OCE＝90°。∴ OC⊥CF。 ∵ OC是⊙O的半径，∴ CF是⊙O的切线。
(2) 连接OD，由(1)可得∠COF＝60°，由圆的轴对称性可得∠EOD＝60°, DE＝CE＝3。 ∴ ∠DOA＝120°。
∵ OM⊥AD，OA＝OD，∴ ∠DOM＝60°。
ED在Rt△DOE中，DE＝3，∠EOD＝60°，s i n∠EOD＝OD，∴ OD＝2。
DM在Rt△DOM中，OD＝2，∠DOM＝60°，s i n∠DOM＝OD，∴ DM＝3，∴OM＝1。 S阴影?S扇形ODN?S?ODM60???22121???1?3???3360232。
∴
【考点】等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，圆切线的判定，圆的轴对称性，锐角三角函数，扇形面积。
【分析】(1) 要证CF为⊙O的切线，根据圆切线的判定只要证CF垂直于过切点的半径，故作辅助线：连接OC。又因为弦CD垂直平分OB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质OC＝BC，故作辅助线：连接BC。这样即能证明△OCB是等边三角形，从而即可在△OCＦ中应用三角形内角和定理证出∠OCE＝90°。从而得证。
（2）要求图中阴影部分的面积，只要用扇形ＯＤＮ的面积减去△OＤＭ的面积即可，故作辅助线：连接ＯＤ。在Rt△DOE和Rt△DOM中，分别应用锐角三角函数即可求出有关线段而求得阴影部分的面积。
4.（2011吉林长春6分）如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，
点P的坐标为（3，－1），AB=23． （1）求⊙P的半径．
（2）将⊙P向下平移，求⊙P与x轴相切时平移的距离．
【答案】解：（1）作PC⊥AB于点C，
11由垂径定理得：AC=2AB=2×23=3，PC=1。
在直角△PAC中，由勾股定理得：PA2=PC2＋AC2， 即PA2=12＋（3）2=4。∴PA=2。∴⊙P的半径是2。
（2）将⊙P向下平移，当⊙P与x轴相切时，点P到x轴的距离等于半径。 ∴平移的距离是：2－1=1。
【考点】垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理，切线的性质。
【分析】（1）作PC⊥AB于点C，由垂径定理即可求得AC的长，根据勾股定理即可求得PA的长。
（2）根据直线与圆相切的性质即可求解。
5．（2011广西百色10分）已知AB为⊙O直径，以ＯＡ为直径作⊙M。过B作⊙M得切线BC，切点为C，交⊙O于E。
（1）在图中过点B作⊙M作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）； （2）证明：∠EAC＝∠OCB；
（3）若AB＝4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD于N，求BN的值。
【答案】解：（1）作图如下。
（2）证明：∵OA、AB分别为⊙M、⊙O的直径， ∴∠AEC＝∠ACO＝90°。 ∴∠EAC＝90°－∠ECA＝∠OCB。 （3）连接DM，则∠BDM＝90°。 ∵AB＝4，∴BM＝3，MD＝1，BO＝2。
2222∴在Rt△BDM中，BD＝BM－MD?3?1?22。
又∵∠BON＝∠BDM＝90°，∠OBN＝∠DBM，
BN2BNBO??22 。 BMBD， 即3∴△BON∽△BDM。∴
∴
BN=322。
【考点】尺规作图，圆切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，平角定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）以点B为圆心，BC为直径作圆，与⊙M相交于点D，直线BD即为另一条切线。 （2）由圆周角定理，三角形内角和定理和平角定义，经过等量代换即可证得。 （3）由△BON∽△BDM即可求得BN的值。
6.（2011广西贺州8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线 互相垂直，垂足为D．锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D， 直线CD与AB的延长线交于点E． （1）求证：AC平分∠DAB；
（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写 作法）；
（3）若CD＝4，AC＝45，求垂线段OE的长．
【答案】解：(1)连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD。 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠OCA＝∠DAC。 ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC。
∴∠OAC＝∠DAC。∴AC平分∠DAB。 （2）过点O作线段AC的垂线OE，如图所示： （3）在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝45，
∴AD＝AC2－CD2＝(45)2－42＝8 。
1
∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝25 。
2∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。 OEAEAE25∴＝。∴OE＝×CD＝×4＝5。 CDADAD8即垂线段OE的长为5 。
【考点】圆切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，尺规作图，弦径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）要证AC平分∠DAB，即∠OAC＝∠DAC。一方面由切线的性质可证OC⊥CD，从而OC∥AD，得∠OCA＝∠DAC；另一方面由等腰三角形等边对等角的性质，得∠OCA＝∠OAC。从而得证。
1（2）分别以点A、C为圆心，大于2AC长为半径画弧，两弧的交点与事业O的边线即为所
作。
（3）要求垂线段OE的长，先由勾股定理求出AD的长，由弦径定理求AE的长。然后由相似三角形的判定和性质即可求出。
7.（2011浙江湖州8分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠AOC＝60o，OC＝2．
(1)求OE和CD的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】解：（1）在△OCE中，
1∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，∴OE＝OC·cos∠EOC＝2×2＝1。 3∴CE＝OC·sin∠EOC＝2×2＝3。
∵OA⊥CD，∴CE＝DE。∴CD＝23。
11S△ABC?ABCE??4?43?2322（2）∵，