1S阴影???22?23?2??232∴。
【考点】扇形面积的计算，垂径定理，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角三角函数值。 【分析】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长。
（2）用半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解。
8．（2011湖南长沙8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。 （1）求∠B的大小：
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长。
【答案】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°， ∴∠CDB=40°。
又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°。
∴在△BPD中，∴∠B=180°－∠PDB－∠BPD=25°。 （2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3。
∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）。∴OE∥AD。 又∵O是AB的中点，∴OE是三角形ABD的中位线。∴AD=2OE=6。
【考点】圆周角定理，平角定义，三角形内角和定理，三角形中位线定理．
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°，最后在在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可。
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是三角形ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度。
9.（2011湖南怀化10分）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求证：OF∥BC； （2）求证：△AFO≌△CEB；
（3）若EB=5cm，CD=103cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积． 【答案】解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC。
又∵OF⊥AC，∴OF∥BC。
（2）证明：∵AB⊥CD，∴BC?BD。∴∠CAB=∠BCD 又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，∴△AFO≌△CEB（AAS）
1（3）∵AB⊥CD，∴CE= 2CD=53。．
在Rt△OCE中，OC=OB=x?5，
222(x?5)?(53)?x根据勾股定理可得：，解得：x?5。
53?35∴tan∠COE=。∴∠COE=60°。∴∠COD=120°。
120??102100??3603， ∴扇形COD的面积是：
11?103?5?253△COD的面积是：2CD?OE=2。 100?(?253)3∴阴影部分的面积是：（cm2）。
【考点】垂径定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算。 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得。 （2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形全等。
（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解。
10.（2011江苏苏州8分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦
AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．
(1)弦长AB等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、 O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
【答案】解: (1) 23。
（2）∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，
∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D。∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D。 又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOD＝2∠A。 又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴2∠A＝∠A＋30°＋20°，即∠A＝50°。 ∴∠BOD＝2∠A＝100°。
（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D。 ∴要使△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°。 此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°。 ∴△DAC∽△BOC。
1 ∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝2AB＝3。
∴当AC＝3时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。
【考点】弦径定理, 直角三角函数, 圆周角定理, 三角形外角定理，相似三角形的判定。
1AB?OBcosB?2?cos300?3?AB?23【分析】(1) 由OB＝2，∠B＝30°知2。
(2) 由∠BOD是圆心角, 它是圆周角A的两倍, 而?A??B??D得求。
(3) 要求AC的长度为多少时，△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，据此可求。 11.（2011江苏泰州10分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N。 （1）点N是线段BC的中点吗？为什么？
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径。 【答案】解：（1）点N是线段BC的中点，理由如下： ∵AD与小圆相切于点M，∴ON⊥AD。
又∵AD∥BC，∴ON⊥BC。∴点N是线段BC的中点。 （2）连接OB,设小圆的半径为r， 则ON＝r＋5，OB＝r＋6，且BN＝5。 在Rt△OBN中： 52＋(r＋5)2 ＝ (r＋6)2 解得：r＝7 cm 。
答：小圆的半径为7 cm。
【考点】弦径定理，矩形的性质，勾股定理。
【分析】(1) 要证点N是线段BC的中点，只要证ON⊥BC，由已知边AD与小圆相切于点M知ON⊥AD，而ABCD是矩形对边平行，从而有ON⊥BC, 根据垂直于弦的直径平分弦的弦径定理得证。
（2）根据已知条件，利用勾股定理求解。
12.（2011山东烟台12分）已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.
（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE·OP＝r2
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
【答案】解：（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ。 ∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°。∴∠QFD＋∠Q＝90°。 ∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°。 ∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P。 ∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF。
OEOF?OFOP。∴OE·OP＝OF2＝r2。 ∴
（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，（1）中的结论成立。理由如下： 依题意画出图形（如图），连接FO并延长交⊙O于M，连接CM。 ∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°。∴∠M＋∠CFM＝90°。 ∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°。 ∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E。 ∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE。
OEOF?OFOP，∴OE·OP＝OF2＝r2。 ∴
【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】（1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明. 观察图形，此题显然要连半径OF，构造OE、OP所在的三角形， 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF。 而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证。 （2）同（1）类似。
13.（2011东营9分）如图．已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°．四边形ABCD的周长为l5． (1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积。
【答案】解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，∴∠ABC=60°。 又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°。
∴AB?AD?DC，∠BCD=60°。∴AB=AD=DC ，∠BDC=90°。 由已知四边形ABCD的周长为l5，得BC+3DC=15。
3 又在Rt△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC，∴得BC+2BC=15，∴BC=6。
∴此圆的半径为3。
（2）设BC中点为O，由（1）可知O即为圆心， 连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E。
33 在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴OE=OAcos30°=2。 1139S?AOD?BC?OE??3?3?32224 ∴。
S阴影?S扇形AOD?S?AOD60???3296??93??3?36044。
∴
【考点】平行的性质，角平分线的性质，圆中圆周角与弧与弦的关系，圆周角的性质，300角直角三角形的性质，锐角三角函数，扇形面积。
【分析】（1）要求半径，求出直径即可，由已知和圆中等圆周角对等弧等弦得出AB=AD=DC