【最新版】全国各中考数学试题分考点解析汇编圆的有关性质

1S阴影???22?23?2??232∴。

【考点】扇形面积的计算,垂径定理,解直角三角形,锐角三角函数,特殊角三角函数值。 【分析】(1)在△OCE中,利用三角函数即可求得CE,OE的长,再根据垂径定理即可求得CD的长。

(2)用半圆的面积减去△ABC的面积,即可求解。

8.(2011湖南长沙8分)如图,在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,∠CAB=40°,∠APD=65°。 (1)求∠B的大小:

(2)已知圆心O到BD的距离为3,求AD的长。

【答案】解:(1)∵∠CAB=∠CDB(同弧所对的圆周角相等),∠CAB=40°, ∴∠CDB=40°。

又∵∠APD=65°,∴∠BPD=115°。

∴在△BPD中,∴∠B=180°-∠PDB-∠BPD=25°。 (2)过点O作OE⊥BD于点E,则OE=3。

∵AB是直径,∴AD⊥BD(直径所对的圆周角是直角)。∴OE∥AD。 又∵O是AB的中点,∴OE是三角形ABD的中位线。∴AD=2OE=6。

【考点】圆周角定理,平角定义,三角形内角和定理,三角形中位线定理.

【分析】(1)由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°,然后根据平角是180°求得∠BPD=115°,最后在在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可。

(2)过点O作OE⊥BD于点E,则OE=3.根据直径所对的圆周角是直角,以及平行线的判定知OE∥AD;又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点,由此可以判定OE是三角形ABD的中位线;最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度。

9.(2011湖南怀化10分)如图,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD于E,OF⊥AC于F,BE=OF.

(1)求证:OF∥BC; (2)求证:△AFO≌△CEB;

(3)若EB=5cm,CD=103cm,设OE=x,求x值及阴影部分的面积. 【答案】解:(1)证明:∵AB为⊙O的直径,∴AC⊥BC。

又∵OF⊥AC,∴OF∥BC。

(2)证明:∵AB⊥CD,∴BC?BD。∴∠CAB=∠BCD 又∵∠AFO=∠CEB=90°,OF=BE,∴△AFO≌△CEB(AAS)

1(3)∵AB⊥CD,∴CE= 2CD=53。.

在Rt△OCE中,OC=OB=x?5,

222(x?5)?(53)?x根据勾股定理可得:,解得:x?5。

53?35∴tan∠COE=。∴∠COE=60°。∴∠COD=120°。

120??102100??3603, ∴扇形COD的面积是:

11?103?5?253△COD的面积是:2CD?OE=2。 100?(?253)3∴阴影部分的面积是:(cm2)。

【考点】垂径定理,平行的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,扇形面积的计算。 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角,以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得。 (2)根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等,即可证得:△AFO和△CEB的两个角相等,从而证得两个三角形全等。

(3)根据勾股定理求得x的值,然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解。

10.(2011江苏苏州8分)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦

AB上的任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交于⊙O于点D,连接AD.

(1)弦长AB等于 ▲ (结果保留根号); (2)当∠D=20°时,求∠BOD的度数;

(3)当AC的长度为多少时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、 O为顶点的三角形相似?请写出解答过程.

【答案】解: (1) 23。

(2)∵∠BOD是△BOC的外角,∠BCO是△ACD的外角,

∴∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D。∴∠BOD=∠B+∠A+∠D。 又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角, ∴∠BOD=2∠A。 又∵∠B=30°,∠D=20°,∴2∠A=∠A+30°+20°,即∠A=50°。 ∴∠BOD=2∠A=100°。

(3)∵∠BCO=∠A+∠D,∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D。 ∴要使△DAC∽△BOC,只能∠DCA=∠BCO=90°。 此时∠BOC=60°,∠BOD=120°,∴∠DAC=60°。 ∴△DAC∽△BOC。

1 ∵∠BCO=90°,即OC⊥AB,∴AC=2AB=3。

∴当AC=3时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。

【考点】弦径定理, 直角三角函数, 圆周角定理, 三角形外角定理,相似三角形的判定。

1AB?OBcosB?2?cos300?3?AB?23【分析】(1) 由OB=2,∠B=30°知2。

(2) 由∠BOD是圆心角, 它是圆周角A的两倍, 而?A??B??D得求。

(3) 要求AC的长度为多少时,△DAC∽△BOC,只能∠DCA=∠BCO=90°,据此可求。 11.(2011江苏泰州10分)如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N。 (1)点N是线段BC的中点吗?为什么?

(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径。 【答案】解:(1)点N是线段BC的中点,理由如下: ∵AD与小圆相切于点M,∴ON⊥AD。

又∵AD∥BC,∴ON⊥BC。∴点N是线段BC的中点。 (2)连接OB,设小圆的半径为r, 则ON=r+5,OB=r+6,且BN=5。 在Rt△OBN中: 52+(r+5)2 = (r+6)2 解得:r=7 cm 。

答:小圆的半径为7 cm。

【考点】弦径定理,矩形的性质,勾股定理。

【分析】(1) 要证点N是线段BC的中点,只要证ON⊥BC,由已知边AD与小圆相切于点M知ON⊥AD,而ABCD是矩形对边平行,从而有ON⊥BC, 根据垂直于弦的直径平分弦的弦径定理得证。

(2)根据已知条件,利用勾股定理求解。

12.(2011山东烟台12分)已知:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,E是直线AB上一动点(不与点A、B、G重合),直线DE交⊙O于点F,直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.

(1)如图1,当点E在直径AB上时,试证明:OE·OP=r2

(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,以如图2点E的位置为例,请你画出符合题意的图形,标注上字母,(1)中的结论是否成立?请说明理由.

【答案】解:(1)证明:连接FO并延长交⊙O于Q,连接DQ。 ∵FQ是⊙O直径,∴∠FDQ=90°。∴∠QFD+∠Q=90°。 ∵CD⊥AB,∴∠P+∠C=90°。 ∵∠Q=∠C,∴∠QFD=∠P。 ∵∠FOE=∠POF,∴△FOE∽△POF。

OEOF?OFOP。∴OE·OP=OF2=r2。 ∴

(2)当点E在AB(或BA)的延长线上时,(1)中的结论成立。理由如下: 依题意画出图形(如图),连接FO并延长交⊙O于M,连接CM。 ∵FM是⊙O直径,∴∠FCM=90°。∴∠M+∠CFM=90°。 ∵CD⊥AB,∴∠E+∠D=90°。 ∵∠M=∠D,∴∠CFM=∠E。 ∵∠POF=∠FOE,∴△POF∽△FOE。

OEOF?OFOP,∴OE·OP=OF2=r2。 ∴

【考点】圆周角定理,相似三角形的判定和性质,三角形内角和定理。

【分析】(1)要证等积式,需要将其化为比例式,再利用相似证明. 观察图形,此题显然要连半径OF,构造OE、OP所在的三角形, 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF。 而要证明△FOE∽△POF,由于已经存在一个公共角,因此只需再证明另一角对应相等即可,这一点利用圆周角定理及其推论可获证。 (2)同(1)类似。

13.(2011东营9分)如图.已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠BAD=120°.四边形ABCD的周长为l5. (1)求此圆的半径; (2)求图中阴影部分的面积。

【答案】解:(1)∵AD∥BC,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°。 又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°。

∴AB?AD?DC,∠BCD=60°。∴AB=AD=DC ,∠BDC=90°。 由已知四边形ABCD的周长为l5,得BC+3DC=15。

3 又在Rt△BDC中,BC是圆的直径,BC=2DC,∴得BC+2BC=15,∴BC=6。

∴此圆的半径为3。

(2)设BC中点为O,由(1)可知O即为圆心, 连接OA,OD,过O作OE⊥AD于E。

33 在Rt△AOE中,∠AOE=30°,∴OE=OAcos30°=2。 1139S?AOD?BC?OE??3?3?32224 ∴。

S阴影?S扇形AOD?S?AOD60???3296??93??3?36044。

【考点】平行的性质,角平分线的性质,圆中圆周角与弧与弦的关系,圆周角的性质,300角直角三角形的性质,锐角三角函数,扇形面积。

【分析】(1)要求半径,求出直径即可,由已知和圆中等圆周角对等弧等弦得出AB=AD=DC

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