【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解
析几何 第7讲 抛物线练习
基础巩固题组 (建议用时：45分钟)
一、选择题
1.点M(5，3)到抛物线y＝ax(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y＝12x C.y＝－36x
22
2
B.y＝12x或y＝－36x 1212
D.y＝x或y＝－x
1236
22
1212
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x，y＝－x.
1236答案 D
2.O为坐标原点，F为抛物线C：y＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( ) A.2
B.22
C.23
D.4
2
解析 设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋2＝42，∴x0＝32， ∴y0＝42x0＝42×32＝24，∴|y0|＝26. 由y＝42x，知焦点F(2，0)，
11
∴S△POF＝|OF|·|y0|＝×2×26＝23.
22答案 C
3.(2015·浙江卷)如图，设抛物线y＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( ) |BF|－1
A. |AF|－1|BF|＋1C. |AF|＋1
|BF|－1B. 2
|AF|－1|BF|＋1D. 2
|AF|＋1
22
2
22
解析 过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|＝|AF|－1，|BN|＝|BF|1
·|CB|·|CF|·sin∠BCFS△BCF2|CB||BN||BF|－1
－1.可知＝＝＝＝，故选A.
S△ACF1|CA||AM||AF|－1
·|CA|·|CF|·sin ∠BCF2答案 A
1
4.已知点A(－2，3)在抛物线C：y＝2px(p＞0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) 1A. 2
2B. 3
2
2
3C. 44D. 3
解析 ∵A(－2，3)在抛物线y＝2px的准线上，
∴－＝－2，∴p＝4，∴y＝8x，设直线AB的方程为x＝m(y－3)－2①，将①与y＝8x2
??x＝m（y－3）－2，2
联立，即?2得y－8my＋24m＋16＝0②，
?y＝8x，?
p22
122
则Δ＝(－8m)－4(24m＋16)＝0，即2m－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－(舍去)，将m2
??x＝8，8－04
＝2代入①②解得?即B(8，8)，又F(2，0)，∴kBF＝＝，故选D.
8－23?y＝8，?
答案 D
5.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知抛物线C：y＝4x的焦点为F，直线y→→
＝3(x－1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点.若AF＝mFB，则实数m的值为( ) A.3
3B. 2
C.2
D.3
2
解析 联立抛物线与直线方程得，?
?y＝3（x－1），1
解得xA＝3，xB＝，∵所给直线经
3?y2＝4x，
4
过抛物线的焦点F，且其准线为x＝－1，∴A点到准线的距离为4，B点到准线的距离为，
3→→
据抛物线定义可有|AF|＝3|FB|，结合已知条件AF＝mFB可得，m＝3.故选D. 答案 D 二、填空题
6.已知抛物线y＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段
2
AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程________.
??2
解析 ∵y＝2px的焦点坐标为?，0?，
?2?
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，
2即x＝y＋，将其代入y＝2px，得y＝2py＋p，
2即y－2py－p＝0.
2
2
ppp222
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2p，∴y1＋y2
2
2
＝p＝2，
∴抛物线的方程为y＝4x，其准线方程为x＝－1. 答案 x＝－1
7.已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为3的直线与l相交于点A，→→
与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________. 解析 如图，由AB的斜率为3， →→
知α＝60°，又AM＝MB， ∴M为AB的中点.
过点B作BP垂直准线l于点P， 则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°. 1
∴|BP|＝|AB|＝|BM|.
2∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.
2答案 2
8.(2016·沈阳质量监测)已知抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线111→→→
上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则＋＋＝________.
2
2
pkABkBCkCA??????解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F?，0?，则?x1－，y1?＋?x2－，y2?＋
22?2??????x3－p，y3?＝(0，0)，故y＋y＋y＝0.
??123
2??
122
（y2－y1）
1x2－x12py2＋y11y3＋y21y3＋y1
因为＝＝＝，同理可知＝，＝，所以原式＝
kABy2－y1y2－y12pkBC2pkCA2p2（y1＋y2＋y3）
＝0.
2p答案 0 三、解答题
pppy2x22
9.(2016·湛江质检)双曲线2－＝1(a>0)的离心率为5，抛物线C：x＝2py(p>0)的焦点
a4
在双曲线的顶点上. (1)求抛物线C的方程；
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