第一章 2.2 2.2.2 反证法
A级 基础巩固
一、选择题
111
1．设a、b、c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋( C )
bcaA．都不大于－2 C．至少有一个不大于－2
B．都不小于－2 D．至少有一个不小于－2
111
[解析] 假设都大于－2，则a＋＋b＋＋c＋>－6，
bca111但(a＋)＋(b＋)＋(c＋) bacbac111
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．
4916
2．(2018·湖北期中)已知a，b，c∈(0，＋∞)，则下列三个数a＋，b＋，c＋( D )
bcaA．都大于6
B．至少有一个不大于6 C．都小于6
D．至少有一个不小于6
4916
[解析] 设a＋，b＋，c＋都小于6，
bca4916
则a＋＋b＋＋c＋＜18，
bca4916
利用基本不等式可得a＋＋b＋＋c＋≥2bcaa·＋2
a16
b·＋2b4
c·＝8＋4＋
c9
6＝18，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
4916
故下列三个数a＋，b＋，c＋至少有一个不小于6，
bca故选D．
3．(2017·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( C )
A．甲 C．丙
B．乙 D．丁
[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．
4．(2017·济南高二检测)设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于( B )
A．0 1C． 2
1B． 3D．1
11
[解析] 三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于．假
331
设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1，与已知矛盾．
3
5．设a、b、c∈R，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的( C )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0．因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设
＋
P<0，Q<0，R>0，即a＋b
6．若m、n∈N，则“a>b”是“aA．充分不必要条件 C．充分必要条件 [解析] a?a>b?
?nn??a>bmmm＋n*
m＋n＋bm＋n>ab＋ab”的( D )
nmmnB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
－ab－ab＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)>0?
m＋nnmmnnmmnmmmmnn＋bm＋n
?a 或?nn??a ，不难看出a>b?/ a＋bm＋n>ab＋ab，amnnmm＋n＋bm＋n>ab＋ba?/ a>b． mnmn二、填空题 7．(2018·思明区校级期中)用反证法证明某命题时，对于“已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25”．正确的反设为a1，a2，a3，a4都不大于25． [解析] 根据反证法的步骤，则应先假设a1，a2，a3，a4都不大于25． 故答案为a1，a2，a3，a4都不大于25． 8．完成反证法证题的全过程． 题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7 －7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) ＝0． 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数． [解析] 假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0． 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数． 三、解答题 9．(2016·吉林高二检测)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证： a，b，c，d中至少有一个是负数． [解析] 假设a，b，c，d都是非负数， 因为a＋b＝c＋d＝1， 所以(a＋b)(c＋d)＝1， 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1， 这与已知ac＋bd>1矛盾， 所以a，b，c，d中至少有一个是负数． 10．(2017·深圳高二检测)设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且 2 f(0)，f(1)均为奇数． 求证：f(x)＝0无整数根． [解析] 假设f(x)＝0有整数根n， 则an＋bn＋c＝0， 由f(0)为奇数，即c为奇数， 2 f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数， 又an＋bn＝－c为奇数， 所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数， 所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数， 所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾． 所以f(x)＝0无整数根． B级 素养提升 一、选择题 2