2014高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
74
1．在(ax－1)展开式中含x项的系数为－35，则a为( ) A．±1 B．－1
11C．－ D．±
22答案 A
34343434
解析 由通项公式可得C7(ax)(－1)＝－35x，∴C7a(－1)＝－35，∴a＝1，∴a＝±1.
5674
2．在(1＋x)＋(1＋x)＋(1＋x)的展开式中，x的系数是通项公式为an＝3n－5的数列的( )
A．第20项 B．第18项 C．第11项 D．第3项 答案 A
4
解析 ∵x的系数是 444123
C5＋C6＋C7＝C5＋C6＋C7＝5＋15＋35＝55， 则由an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
*
3．在(x＋1)(2x＋1)……(nx＋1)(n∈N)的展开式中一次项系数为( )
22
A．Cn B．Cn＋1
13n－1
C．Cn D.Cn＋1
2
答案 B
n·(n＋1)2
解析 1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋1
24．设(5x－x)的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展
3
开式中x项的系数为( )
A．500 B．－500 C．150 D．－150 答案 C
nnnn2
解析 N＝2，令x＝1，则M＝(5－1)＝4＝(2)，
n2nn∴(2)－2＝240,2＝16，n＝4.
r4－rr展开式中第r＋1项Tr＋1＝C4·(5x)·(－x)
＝(－1)·C4·5
rr4－rn·x4－
r2
.
2
2
2
令4－＝3，即r＝2，此时C4·5·(－1)＝150.
2
1n2
5．如果(x－)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系
2x数之和是( )
A．0 B．256
1
C．64 D. 64
答案 D
34??Cn>Cn解析 解法一 由已知得?32，
??Cn>Cn*
∴5 161 令x＝1，则原式＝(1－)＝. 264 解法二 由题意知，只有第4项的二项式系数最大，∴n＝6， r 161 令x＝1，则原式＝(1－)＝. 26410 6．二项展开式(2x－1)中x的奇次幂项的系数之和为( ) 1010 1＋31－3A. B. 2210103－11＋3C. D．－ 22答案 B 10210 解析 设(2x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a10x，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令 10 1－310 x＝－1，得3＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得a1＋a3＋…＋a9＝，故选B. 27．已知(1－2)＝a＋2b(a，b为有理数)，则a－2b＝( ) 20 A．(1－2) B．0 C．－1 D．1 答案 D nn解析 在二项式(a＋b)与(a－b)的展开式中，奇数项是完全相同的，偶数项互为相反数， 101022 根据这个特点，当(1－2)＝a＋2b时，必有(1＋2)＝a－2b，故a－2b＝(a＋2b)(a1010 －2b)＝(1－2)(1＋2)＝1. 二、填空题 10210 8．(x＋2)(x－1)的展开式中x的系数为________． 答案 179 10221010 解析 (x＋2)(x－1)＝x(x＋2)－(x＋2) 1010810r10－rr本题求x的系数，只要求(x＋2)展开式中x及x的系数Tr＋1＝C10x· 2 822 取r＝2，r＝0得x的系数为C10×2＝180； x10的系数为C210＝1， ∴所求系数为180－1＝179. 2318333n9．设an (n＝2,3,4，…)是(3－x)的展开式中x的一次项的系数，则＋＋…＋的 10 2 2 a2a3a18 值为____________． 答案 17 23 r332n－2 解析 由通项C3(－1)x知，展开式中x的一次项的系数为an＝Cn3，所以＋＋… 2a2a3 rn－rnr＋ 318 22222 ＝3(＋＋＋…＋)＝17. a1×22×33×417×18 18 420 10．在(x＋3y)的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 答案 6 解析 注意到二项式(x＋ 4 3y)的展开式的通项是Tr＋1＝c20·x20 r20－r·( 4 3y)＝ rr20－rr420 Cr·y.当r＝0,4,8,12,16,20时，相应的项的系数是有理数．因此(x＋3y)的20·3·x4 展开式中，系数是有理数的项共有6项． 4324 11．(2011·安徽江南十校)a4(x＋1)＋a3(x＋1)＋a2(x＋1)＋a1(x＋1)＋a0＝x，则a3－a2＋a1＝________. 答案 －14 4432 解析 [(x＋1)－1]＝a4(x＋1)＋a3(x＋1)＋a2(x＋1)＋a1(x＋1)＋a0，∴a3－a2＋a1＝123 (－C4)－C4＋(－C4)＝－14. 12．二项式(1＋sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值 5 为，则x在[0,2π]内的值为________． 2 π5π答案 或 66 nn－1n解析 二项式(1＋sinx)的展开式中，末尾两项的系数之和Cn＋Cn＝1＋n＝7，∴n＝6， 51333 系数最大的项为第4项，T4＝C6(sinx)＝，∴(sinx)＝， 28 1π5 ∴sinx＝，又x∈[0,2π]，∴x＝或π. 266 5 13．(1－3a＋2b)展开式中不含b项的系数之和是________． 答案 －32 5 解析 令a＝1，b＝0，即得不含b项的系数和(1－3)＝－32. 三、解答题 162 14．设m＝?π(sint＋cost)dt，求二项式(mx－)展开式中含x项的系数及各项系数 x?0之和． 答案 －192,1 解析 ∵m＝?π(sint＋cost)dt＝(sint－cost)| ?0 6 π0＝2. x r6－rr3－r 又Tr＋1＝C62(－1)x， 2 令3－r＝2，∴r＝1，∴x项的系数为－192. 令x＝1知各项系数之和为1. 1002100 15．设(2－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a100x求下列各式的值： (1)a0； (2)a1＋a2＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； 22 (4)(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99). 100 解析 (1)(2－3x)展开式中的常数项为 100100 C0100·2，即a0＝2，或令x＝0， 100 则展开式可化为a0＝2. 100 (2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)① 100100 ∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)－2. (3)令x＝－1， 100 可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)② 与x＝1所得到的①联立相减可得 100100 (2－3)－(2＋3) a1＋a3＋…＋a99＝. 2 (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100) 100100 ＝(2－3)(2＋3)＝1. 拓展练习·自助餐 10 1．把(3i－x)(i是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( ) A．135 B．－135 ∴(mx－1x )＝(2x－ 1 )， 6 C．－3603i D．3603i 答案 D 73773777 解析 ∵T7＋1＝C10(3i)(－x)＝－C1033ix＝C1033ix.所以展开式的第8项的系数为7 33·C10i，即3603i. 2．若(2－1 答案 － 3 解析 T7＝T6＋1＝C9(2)(－即 9×8×73x121 ·2·＝， 3×2×184 3x－1 6 x3 x 2921 )的展开式的第7项为，则 x＝________. 24 2621 )＝， 24 1－2 ＝2，因此有3x－1＝－2，即x＝－. 3 3828 3． (x＋1)＋(x－2)＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)＋…＋a8(x－1)，则a6＝________. 答案 28 3838 解析 ∵(x＋1)＋(x－2)＝[(x－1)＋2]＋[(x－1)－1]， 62626 ∴a6(x－1)＝C8(x－1)(－1)＝28(x－1)，∴a6＝28. n 4． (1＋ax＋by)展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( ) A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6 C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5 答案 D n 解析 注意到(1＋ax＋by) n ＝[(1＋ax)＋by] n ＝[(1＋by)＋ax]， n5 因此依题意得(1＋|b|)＝243 ＝3， n5 (1＋|a|)＝32＝2， 于是结合各选项逐一检验可知， 当n＝5时，|b|＝2，|a|＝1，因此选D. 22 5．请先阅读：在等式cos2x＝2cosx－1(x∈R)的两边对x求导，即(cos2x)′＝(2cosx－1)′； 由求导法则得(－sin2x)·2＝4cosx·(－sinx)， 化简后得等式sin2x＝2sinxcosx. (1)利用上述想法(或者其他方法)，试由等式 所以2 n(1＋x)＝Cn＋Cnx＋Cnx＋…＋C 2kCx. k＝ kk－1 nnn0 n0122 n－1n－1nx＋Cx(x∈R，整数n≥2)证明：n [(1＋x)－1]＝∑ kknnnn－1 (2)对于整数n≥3，求证：∑k (－1)kCn＝0. ＝1 解析 (1)在等式(1＋x)＝Cn＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＋Cnx两边对x求导得 2n－1n－2nn－1 n(1＋x)n－1＝C1＋nCnx. n＋2Cnx＋…＋(n－1)Cnxn1 22 n－1n－1nn移项得n[(1＋x) n－1 －1]＝∑k＝ 2kCnxnkk－1 .(*) nk－1 kkkC＝0，所以∑k＝ 1 (－1)kCn＝0. kn(2)在(*)式中，令x＝－1，整理得∑k＝ 1 (－1)