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弹簧类问题的几种模型及其处理方法
学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。
一、弹簧类命题突破要点
1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。 2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。 3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值。弹性势能的公式作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。 二、弹簧类问题的几种模型 1．平衡类问题 ，高考不
例1．如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2
拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将m1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能增加了________。 分析：上提m1之前，两物块处于静止的平衡状态，所以有：弹簧k1、k2的压缩量。 ，，其中，、分别是
当用力缓慢上提m1，使k2下端刚脱离桌面时，，弹簧k2最终恢复原长，其中，为此时弹簧k1的伸长量。
答案：m2上升的高度为，增加的重力势能为，m1上升的高度为，增加的重力势能为
。
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点评：此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题，题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出。注意缓慢上提，说明整个系统处于动态平衡过程。
例2．如上图2所示，A物体重2N，B物体重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊A物体的绳的拉力为T，B对地的压力为F，则T、F的数值可能是
A．7N，0??????B．4N，2N?????C．1N，6N???????D．0，6N
分析：对于轻质弹簧来说，既可处于拉伸状态，也可处于压缩状态。所以，此问题要分两种情况进行分析。
（1）若弹簧处于压缩状态，则通过对A、B受力分析可得：，
（2）若弹簧处于拉伸状态，则通过对A、B受力分析可得：， 答案：B、D。 点评：此题主要针对弹簧既可以压缩又可以拉伸的这一特点，考查学生对问题进行全面分析的能力。有时，表面上两种情况都有可能，但必须经过判断，若某一种情况物体受力情况和物体所处状态不符，必须排除。所以，对这类问题必须经过受力分析结合物体运动状态之后作出判断。 平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况。只要学生静力学基础知识扎实，学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单。 2．突变类问题 例3．（2001年上海）如图3所示，一质量为m的小球系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，小球处于平衡状态。现将l2线剪断，求剪断瞬时小球的加速度。若将图3中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图4所示，其他条件不变，求剪断细线l2瞬时小球的加速度。 分析：（1）当剪断细线l2瞬间，不仅l2对小球拉力瞬间消失，l1的拉力也同时消失，此时，小球只受重力作用，所以此时小球的加速度为重力加速度g。 （2）当把细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧时，在当剪断细线l2瞬间，只有l2对小球拉力瞬间消失，弹簧对小球的弹力和剪断l2之前没变化，因为弹簧恢复形变需要一个过程。如图5所示，剪断l2瞬间，小球受重力G和弹簧弹力，所以有：
，方向水平向右。
点评：此题属于细线和弹簧弹力变化特点的静力学问题，学生不仅要对细线和弹簧弹力变化特点熟悉，还要对受力分析、力的平衡等相关知识熟练应用，此类问题才能得以解决。
突变类问题总结：不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计，因此可以称为“突变弹力”，轻质弹簧的弹力变化需要一定时间，弹力逐渐减小，称为“渐变弹力”。所以，对于细线、弹簧类问题，当外界情况发生变化时（如撤力、变力、剪断），要重新对物体的受力和运动情况进行分析，细线上的弹力可以突变，轻弹簧弹力不能突变，这是处理此类问题的关键。
3．碰撞型弹簧问题
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此类弹簧问题属于弹簧类问题中相对比较简单的一类，而其主要特点是与碰撞问题类似，但是，它与碰撞类问题的一个明显差别就是它的作用过程相对较长，而碰撞类问题的作用时间极短。
例4．如图6所示，物体B静止在光滑的水平面上，B的左边固定有轻质的弹簧，与B质量相等的物体A以速度v向B运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿统一直线，则A,B组成的系统动能损失最大的时刻是
A．A开始运动时?????????B．A的速度等于v时 C．B的速度等于零时?????D．A和B的速度相等时
分析：解决这样的问题，最好的方法就是能够将两个物体作用的过程细化，明确两个物体在相互作用的过程中，其详细的运动特点。具体分析如下：
（1）弹簧的压缩过程：A物体向B运动，使得弹簧处于压缩状态，压缩的弹簧分别对A、B物体产生如右中图的作用力，使A向右减速运动，使B向右加速运动。由于在开始的时候，A的速度比B的大，故两者之间的距离在减小，弹簧不断压缩，弹簧产生的弹力越来越大，直到某个瞬间两个物体的速度相等，弹簧压缩到最短。 （2）弹簧压缩形变恢复过程：过了两物体速度相等这个瞬间，由于弹簧仍然处于压缩状态，A继续减速，B继续加速，这就会使得B的速度变的比A的速度大，于是A、B物体之间的距离开始变大，弹簧逐渐恢复形变直至原长。 （3）弹簧的拉伸过程：由于B的速度比A的速度大，弹簧由原长变为拉伸状态。此时，弹簧对两物体的弹力方向向内，使A向右加速运动，B向右减速运动，直到A、B速度相等时弹簧拉伸到最长状态。 （4）弹簧拉伸形变恢复过程：过了两物体速度相等这个瞬间，由于弹簧仍然处于拉伸状态，A继续加速，B继续减速，这就会使得A的速度变的比B的速度大，于是A、B物体之间的距离开始变小，弹簧逐渐恢复形变直至原长。 就这样，弹簧不断地压缩、拉伸、恢复形变。当外界用力压弹簧时，弹簧会被压缩，从而获得弹性势能，当弹簧开始恢复形变之后，它又会将所蓄积的弹性势能释放出去，这个蓄积和释放的过程，弹簧自身并不会耗费能量。能量在两个物体和弹簧之间进行传递。
点评：在由两个物体和弹簧组成的系统的运动中，具有下面的特点： （1）两个物体速度相等时，弹簧处于形变量（压缩或拉伸）最大的状态，弹簧的弹性势能达到最大。 （2）两个物体不停地进行着加速和减速运动，但加速度时刻在变化，所以有关两个物体运动的问题不能采用运动学公式来解决。但此模型属于弹性碰撞模型，所以满足包括弹簧在内的系统动量守恒和系统机械能守恒。 4：机械能守恒型弹簧问题
对于弹性势能，高中阶段并不需要定量计算，但是需要定性的了解，即知道弹性势能的大小与弹簧的形变之间存在直接的关系，对于相同的弹簧，形变量一样的时候，弹性势能就是一样的，不管是压缩状态还是拉伸状态。
例5．一劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为m=12kg的物体A、B，它们竖直静止在水平面上，如图7所示。现将一竖直向上的变力F作用在A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40s物体B刚要离开地面。求：
⑴此过程中所加外力F的最大值和最小值。
⑵此过程中力F所做的功。（设整个过程弹簧都在弹性限度内，取g=10m/s）
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