1.导数与导函数的概念
(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝xlim→x
1
f?x1?－f?x0?f?x0＋Δx?－f?x0?
＝lim.
Δx0x1－x0Δx→0
Δx0
(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim→f?x＋Δx?－f?x?
，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.
Δx2.导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α为实数) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝lnx f(x)＝logax(a>0，a≠1)
导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1 －f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝ex f′(x)＝axln_a 1f′(x)＝ x1f′(x)＝ xlna4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； f′?x?g?x?－f?x?g′?x?f?x?(3)[]′＝(g(x)≠0). g?x?[g?x?]25.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx.( × )
1
1.(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为( )
3A.0 答案 B
1
解析 ∵f(x)＝x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.
3∴f′(－1)＝3.
2.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是( )
B.3
C.4
7D.－ 3
答案 D
解析 由y＝f′(x)的图像知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图像知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
ππ
3.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sinx＋cosx，则f′()＝________.
24答案 －2
π
解析 因为f(x)＝f′()sinx＋cosx，
2π
所以f′(x)＝f′()cosx－sinx，
2ππππ
所以f′()＝f′()cos－sin，
2222
π
即f′()＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx.
2f′(x)＝－cosx－sinx.
πππ
故f′()＝－cos－sin＝－2.
444
4.已知函数f(x)＝x(x－1)·(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________. 答案 －120
解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋ x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5) ＝－120.
15.(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的
x坐标为________. 答案 (1,1)