数字信号处理复习要点
引言 数字信号处理主要包括如下几个部分
1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 3、数字滤波器的设计
一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析
1、离散时间信号：
1）离散时间信号：时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。 信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。 2）数字信号：时间和幅值都离散化的信号。
（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理） 3）离散时间信号可用序列来描述 4）序列的卷积和（线性卷积）
y(n)?m????x(m)h(n?m)?x(n)*h(n)
?5）几种常用序列
?1,n?0a)单位抽（采、取）样序列（也称单位冲激序列） ?(n),?(n)???0,n?0?1,n?0b)单位阶跃序列u(n),u(n)??
0,n?0??1,0?n?N?1c)矩形序列，RN(n)??
n?其它?0,d)实指数序列,x(n)?anu(n)
6）序列的周期性
所有n存在一个最小的正整数N,满足：x(n)?x(n?N),则称序列x(n)是周期序列，周期为N。正弦序列x(n)?Asin(?0n??)的周期性取决于?0，x?n?是周期序列。
7）时域抽样定理：
一个限带模拟信号xa(t)，若其频谱的最高频率为F0，对它进行等间隔抽样而得x(n)，抽样周期为T，或抽样频率为Fs?1/T；
只有在抽样频率Fs?2F0时，才可由x(n)准确恢复xa(t)。
2、离散时间信号的频域表示（时域离散信号的傅里叶变换；序列的傅立叶变换）
X(j?)?X(ej?)?n????x(n)e????j?n，X(j(??2?))?X(j?)
j?n1x(n)?2???X(j?)e?d?
3、离散时间信号的复频域分析（时域离散信号的Z变换，序列的Z变换）
X(z)?Z[x(n)]?n????x(n)z?n；
1）Z变换与傅立叶变换的关系，X(j?)?X(z)z?ej?
2） Z变换的收敛域
收敛区域要依据序列的性质而定。
同时，只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。
Rx??|z|?Rx? 一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：
?x(n)N1?n?N23）有限长序列：x(n)??，
其它?0?x(n)N1?n??右序列：x(n)?? ，Rx-?|z|??
0其它??x(n)???n?N2左序列：x(n)??，
其它?0（|z|
常用序列的Z变换：
Z[?(n)]?1,|z|?01Z[u(n)]?,|z|?11?z?1 1nZ[au(n)]?,|z|?|a|1?az?11Z[bnu(?n?1)]?,|z|?|b|1?bz?1
Z变换之逆变换
x(n)?2?j?1cX(z)zn?1dz，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线
1）留数定理：x(n)??[X(z)zn?1在C内极点留数之和]， 即x(n)??Res[F(z),zk],其中F(z)?X(z)zn?1,zk为极点。
k 对于单极点zi： Res[X(z)zn?1]z?zi?[?z?zi?X(z)zn?1]z?zi 2）留数辅助定理（C内有高阶极点时）：
x(n)???[X(z)zn?1在C外极点留数之和]
适用条件：F(z)在C外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上！！ 3）利用部分分式展开：X(z)??变换求解。
4、离散时间系统： T[x(n)]?y(n) 系统函数：H(j?)?Y(j?)Y(z)，H(z)? X(j?)X(z)Ak，然后利用定义及常用序列的Z?11?akz冲激响应：h(n)?T[?(n)]
5、线性系统：满足叠加原理的系统。T[ax(n)?by(n)]?aT[x(n)]?bT[y(n)]
6、移不变系统：若T[x(n)]?Y(n)，则T[x(n?k)]?Y(n?k)
7、线性移不变系统
设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:
x?n??m????x?m???n?m?
??????那么，系统对应的输出为： y?n??T[x?n?]?T??x?m???n?m??
?m????