实数
知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当x?a(a?0)时，我们称x是a的平方根，记做：x??a(a?0)。因此：
1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2、当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x??a。 3、当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。 例1.
（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若
2x的平方根是±2，则x= ；16的平方根是
（4）当x 时，3－2x有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：
2 1、如果一个正数x的平方等于a，即x?a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根
号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a?0(a?0)。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，
?算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：
例2.
（1）下列说法正确的是 （ ）
a。
A．1的立方根是?1； B．4??2； （C）、81的平方根是?3； （ D）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）
A、81??9 B、3.14?????3.14 C、?27??93 D、5?3?（3）(?3)的算术平方根是 。 （4）若x?22
?x有意义，则x?1?___________。
2（5）已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a?3?(b?4)?0，求c的取值范围。
（7）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x － y的值.
（8）求下列各数的平方根和算术平方根.
4964； ； 0.0004； (－25)2； 11.
121
1001.44， 0，8， ， 441， 196， 10－4
491
（9）(64)2等于多少？(
（10） (7.2)2等于多少？
（11）对于正数a，(a)2等于多少？
我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算. 知识点三、【开平方性质】
492
)等于多少？ 121(1)4?9=_________，4?9=_________； (2)(2)16?9=_________，16?9=_________； (3)
44=_________，=_________；
99(4)(4)
1616=_________. ?_________，2525
知识点四、【立方根】：
1、如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作，3次根号a。注意：这
里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。 2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负
数才能有平方根。 例3.
（1）64的立方根是
（2）若3a?2.89,3ab?28.9，则b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000
3（3）下列说法中：①?3都是27的立方根，②3y?y，③64的立方根是2，④3??8???4。
2其中正确的有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 知识点五、【无理数】：
1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包
含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率?以及含有?的一些数，如：2-?，3?等；（2）开方开不尽的数，如:2,5,39等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：?
2
2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所
有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③5?7、④π、⑤?2.25、⑥?2、⑦0.3030003000003……3（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-?,4,32其中无理数有 ( )个
A 2 B 3 C 4 D 5
知识点六、【实数】：
1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负
整数是-1，最小的正整数是1.
2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是是：在数轴上的点到原点的距离。
3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大
于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一
致。 例5.
（1）下列说法正确的是（ ）；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ； C、1和2之间的无理数只有2 ； D、不带根号的数都是有理数。 （2）①a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )
?a(a?0)1（a≠0）；实数a的绝对值|a|=?，它的几何意义a??a(a?0)a 0 b A、a?b B、ab C、a?b D、b?a
（3）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是3和-1，则点C所对应的实数是（ ）
A. 1+3 B. 2+3 C. 23-1 D. 23+1
（4）实数a、b在轴上的位置如图所示，且a?b，则化简a?a?b的结果为（ ）
3
2a
o b