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浅谈数学教学中的分类讨论思想
作者：李继超
来源：《读与写·教育教学版》2010年第04期
摘要:本文主要对数学教学中的分类讨论思想的内涵、分类的原则以及操作步骤,作了探讨,重点分析了分类讨论思想的几个类型,比如,概念型、性质型、含参型等。 关键词:数学 教学 分类 思想
中图分类号: G718文献标识码: C文章编号:1672-1578(2010)04-0171-01
课程标准将数学思想方法教学作为课程目标之一,指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”1而分类讨论是重要的思想方法之一,因而教学中要注重分类讨论思想方法的渗透。
分类讨论的思想方法是指在解决某些数学问题时,其解决过程包括多种情形,不可一概而论,难以用统一的形式或同一种方法进行处理,需要根据所研究的对象在性质上存在的差别,按一定标准把原问题分为几个不同的种类,并对每一类逐一地加以分析和讨论,再把每一类结果和结论进行汇总,最终使得整个问题在总体上得到解决。
分类的基本原则有:分类标准必须统一,否则会导致逻辑混乱;各种分类的集合必须彼此互斥,即各个分类没有公共部分,否则会造成重复讨论;分类必须是全面而完整的,否则会有所遗漏;对于需要多级讨论的,必须逐级地进行,不能出现越级讨论的现象,否则会导致层次不清,乃至错误。此外,要在确保正确的基础之上尽量减少分类,使问题解决过程简洁化。
运用分类讨论思想解决数学问题一般的操作步骤是:第一步:明确讨论对象,并确定讨论对象的范围;第二步:确定分类的标准,对讨论对象科学、合理、恰当地进行分类;第三步:对不同的分类逐一地进行讨论;第四步:对各类讨论结果进行归纳,并加以整合,最终得出整个问题的结论。 分类讨论主要有以下几种常见的类型: 1概念型
在数学中有些概念本身就是分不同情形加以定义的,教学时,要引导学生在概念的学习过程以及应用过程中领会概念具体的分类标准,进一步深化对分类讨论思想的理解。例如,讲解绝对值的概念时,需要分正实数、负实数和零三种情况分别给予定义,此外,一些数学问题的解决也要根据绝对值的定义分情况加以讨论。
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2性质型
数学中有一些定理、公式、法则和性质等内容是分情况给予表述的,或者有其特定的适用范围,或者有一定的限制条件,因而在教学过程中要让学生注意领会公式、性质的限制条件,并且能够在具体应用时根据这些限制条件来确定分类标准进行讨论。例如,学习等比数列的前n项和公式时,要让学生认识到求和公式是受到公比q限制的,即:当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=■。再比如,在学习对数函数时,让学生认识到,对数函数y=logαx的单调性因底数a的取值范围的不同而不同,即:当a>1时,y=logαx在定义域内为增函数;当0 3含参型
参数广泛地出现在数学的各种问题之中,参数的存在会对问题的解决产生种种影响。一个问题中的参数通常可以取几个不同的数值,而在不同的取值时所采用的解决策略和处理方式都不尽相同,因而会产生不同的结果。这就要求我们必须对参数取不同值时的各种情况分别地加以讨论。比如在习题教学中,含有参数的方程、不等式等问题是比较常见的。 例 解关于x的不等式αx+4>2x+α2: 整理得:(α-2)x>α2-4
当α-2>0即α>2时,则x>(α2-4) / (α-2)=α+2;
当α-2=0即α=2时,原不等式为0·x>0,故不等式无解; 当α-2 4图形型
数学中有一些问题由于所涉及的图形或图象等元素具有不确定性,比如,图形本身的大小、形状以及图形间的位置关系等有多种可能,需要根据具体的不同情况分别地加以探讨,才能使问题得到全面而完整的解决。例如,讲解圆与圆的位置关系时,引导学生经过探究最终发现圆与圆的五种位置关系:外离、外切、相交、内切和内含。再比如,讲解空间直线位置关系时,使同学经过探索后发现空间直线有相交、平行、异面三种位置关系,等等。 5现实型
数学与生活紧密联系,在解决现实生活中的实际应用问题时可能会遇到多种情形,需要我们根据具体情况作出具体分析,对各种情形分别进行讨论。
例,某公司准备组织员工到外地去旅游,预计参加此次旅游的人数为15~25人.该公司分别与甲、乙两家旅行社进行联系,获知两家旅行社的报价均为1600元/人。经协商之后,甲旅行社表
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示每位游客的费用可以按八五折计算;乙旅行社则表示可除去一位游客的费用,其余游客的费用按九折计算,那么该公司应怎样选择,才能使旅游的费用较少?
解:设该公司参加此次旅游活动的人数为x人,选择甲旅行社时,费用为y1元;选择乙旅行社时,费用为y2元,根据题意得: y1=1600×0.85x=1360x y2=1600×0.9(x-1)=1440x-1440 当y118;
当y1=y2时,即1360x=1440x-1440,解得x=18; 当y1>y2时,即1360x>1440x-1440,解得x
因此,当19≤x≤25时,选择甲旅行社费用较少;当x=18时,需要支付的费用相同,可在甲、乙两家旅行社任选;当
15≤x≤17时,选择乙旅行社费用较少。
总之,分类讨论思想能够促使学生全面而周密地分析和思考问题,有助于提高思维的逻辑性和严谨性,能有效地克服思维的片面性。因而,教学中要对分类讨论思想有意识地加以渗透,对蕴含于数学知识中的分类讨论思想适时地予以揭示,经过反复强化,螺旋上升的过程,优化学生的思维品质,提高学生的数学能力,达到事半功倍的效果。 参考文献:
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验)[M].北京:北京师范大学出版社,2001.
作者简介:李继超,北京师范大学教育硕士,研究方向:学科教学(数学)。