数值计算方法上机题目3
一、计算定积分的近似值： 要求：
（1）若用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，要求误差限???10?7，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计； （2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分； （3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。 1.复化梯形公式 程序：
程序1（求f（x）的n阶导数：
symsx
f=x*exp(x)%定义函数f（x） n=input('输入所求导数阶数:') f2=diff(f,x,n)%求f(x)的n阶导数
12结果1 输入n=2 f2=
2*exp(x)+x*exp(x) 程序2：
clc clear
symsx%定义自变量x
f=inline('x*exp(x)','x')%定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可 f2=inline('(2*exp(x)+x*exp(x))','x')%定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。 f3='-(2*exp(x)+x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值 e=5*10^(-8)%精度要求值 a=1%积分下限
b=2%积分上限
x1=fminbnd(f3,1,2)%求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值 forn=2:1000000%求等分数n
Rn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1)%计算余项 ifabs(Rn) h=(b-a)/n%求h Tn1=0 fork=1:n-1%求连加和 xk=a+k*h Tn1=Tn1+f(xk) end Tn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b))) z=exp(2) R=Tn-z%求已知值与计算值的差 fprintf('用复化梯形算法计算的结果Tn=') disp(Tn) fprintf('等分数n=') disp(n)%输出等分数 fprintf('已知值与计算值的误差R=') disp(R) 输出结果显示： 用复化梯形算法计算的结果Tn= 等分数n=7019 已知值与计算值的误差R= 公式 程序： 程序1：（求f（x）的n阶导数）： symsx f=x*exp(x)%定义函数f（x） n=input('输入所求导数阶数:') f2=diff(f,x,n)%求f(x)的n阶导数 结果1 输入n=4 f2= 4*exp(x)+x*exp(x) 程序2： clc clear symsx%定义自变量x f=inline('x*exp(x)','x')%定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可 f2=inline('(4*exp(x)+x*exp(x))','x')%定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可 f3='-(4*exp(x)+x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值 e=5*10^(-8)%精度要求值 a=1%积分下限 b=2%积分上限 x1=fminbnd(f3,1,2)%求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值 forn=2:1000000%求等分数n Rn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1)%计算余项 ifabs(Rn) h=(b-a)/n%求h Sn1=0 Sn2=0 fork=0:n-1%求两组连加和 xk=a+k*h xk1=xk+h/2 Sn1=Sn1+f(xk1) Sn2=Sn2+f(xk) end Sn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b))%因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a) z=exp(2) R=Sn-z%求已知值与计算值的差 fprintf('用Simpson公式计算的结果Sn=') disp(Sn) fprintf('等分数n=') disp(n) fprintf('已知值与计算值的误差R=') disp(R) 输出结果显示： 用Simpson公式计算的结果Sn= 等分数n=24 已知值与计算值的误差R= 用复化梯形公式计算的结果为：，与精确解的误差为：。等分数n=7019 用复化Simpson公式计算的结果为：，与精确解的误差为：。等分数n=24 3、柯斯特公式求积分： 程序代码： （1）function[y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n) ifnargin==1 [mm,nn]=size(fun); ifmm>=8 error('为了保证NewtonCotes积分的稳定性，最多只能有9个等距节点！') elseifnn~=2 error('fun构成应为：第一列为x，第二列为y，并且个数为小于10的等距节点！') end xk=fun(1,:); fk=fun(2,:); a=min(xk); b=max(xk); n=mm-1; elseifnargin==4 xk=linspace(a,b,n+1); ifisa(fun,'function_handle') fx=fun(xk); else error('fun积分函数的句柄，且必须能够接受矢量输入！') end else error('输入参数错误，请参考函数帮助！') end Ck=cotescoeff(n); Ak=(b-a)*Ck; y=Ak*fx'; （2）functionCk=cotescoeff(n) fori=1:n+1 k=i-1; Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n); end （3）functionf=intfun(t,n,k) f=1; fori=[0:k-1,k+1:n] f=f.*(t-i); end 代码解释： function[y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n)