数学试卷
三. 全面答一答 (本题有7个小题, 共66分)
解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤. 如果觉得有的题目有点困难, 那么把自己能写出的解答写出一部分也可以. 17．(本题6分) 解：原式=
?a?1??a?1??a?1?2?a?2?a?a?2?a …………2分
=
a?1a?1?1 …………1分 =?2a?1 …………1分
把a=3代入，原式=?213?1??2 …………2分
18. (本小题满分8分)
(1) ⊿ABC即为所求作的三角形（保留痕迹）…………3分
A（2）作出BC的中垂线 …………1分 ∵MN是BC的中垂线
BC∴∠BNM=∠A=90°，BN=CN …………1分 ∵∠B=∠B∴⊿BMN∽⊿BCA ∵sinB=
12∴ ∠B=30° …………1分 设BN=x ∴BC=2x AM∴AB=BCcos30°=3x
B2NC∴S?BMN?BN1S????? …………2分 ?ABC?BA?3
19. (本小题满分8分) （1）补全图形如下：
人数（单位：人）120105定点投篮35?羽毛球15`60
75乒乓球25%踢毽子5E3015
跳长绳20%定点投篮跳长绳羽毛球踢毽子乒乓球兴趣爱好
每一
空1分， 共3分。 （2）300名
学
生。
…………1分
数学试卷
∵1-35%-15%-5%-25%＝20%
∴20%?360??72? …………2分 （3）5%?12000?600（人） …………2分
20. (本小题满分10分) 由y＝x＋1可得A（0，1），即OA＝1 …………1分
1∵tan∠AHO＝，∴OH＝2 …………1分
2∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为2. ∵点M在直线y＝x＋1上，
∴点M的纵坐标为3.即M（2，3） …………1分 ∵点M在y? （2）∵点N（1，a）在反比例函数y?N1Pk上，∴k＝2×3＝6. …………1分 x6的图像上， x ∴a＝6.即点N的坐标为（1，6） …………1分 过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P(如图)
此时PM＋PN最小. …………1分 ∵N与N1关于y轴的对称，N点坐标为（1，6），
∴N1的坐标为（-1，6） …………1分 设直线MN1的解析式为y＝kx＋b. 把M，N1 的坐标得
?6??k?b??3?2k?b
?k??1 解得 …………2分 ??b?5∴直线MN的解析式为y??x?5.
令x＝0，得y＝5.
∴P点坐标为（0，5） …………
21. (本小题满分10分)
DCAEFOB1分
（1）解法一、
直线BD与⊙O相切 …………1分 证明如下：
∵∠AEC=∠ODB, ∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB …………1分 ∵点E是弧BC的中点，∴OD⊥BC …………1分 ∴∠DBC+∠ODB=90°
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠DBC+∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切 …………1分
解法二、
直线BD与⊙O相切 …………1分 证明如下： 连接AC
∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90° …………1分 ∵点E是弧BC的中点，∴OD⊥BC …………1分 ∴∠OFB=90°=∠ACB ∴AC∥OD ∴∠CAB=∠DOB∵∠CEA=∠ODB=∠ABC ∴∠CAB+∠CBA=∠DOB+∠ODB=90°
∴∠DBO=90°∴直线BD与⊙O相切 …………1分 (2)
∵点E是弧BC的中点，∴OD⊥BC
∴∠OFB=90° …………1分 ∵BO=
12AB=6 ∴sin∠DOB=
BFBO?336?32 …………1分
∴∠DOB=60° …………1分 ∵∠OBD=90°∴tan60°=
BDOB?BD6?3 ∴BD=63 …………1分
∴S=
6?632?60??62360?183?6? …………1分 ?18?1.73?6?3.14?12 …………1分
22. (本小题满分12分)
（1）购买二等奖为（2x-10）件； 购买三等奖为（60-3x）件。 w?12x?10?2x?10??5?50?x??2x?10???17x?200 数学试卷
1分 1分
…………2分
……………………数学试卷
?x?0?2x?10?0?（2）由题意可得：?
50?x?(2x?10)?0???5?50?x?(2x?10)??1.5?10(2x?10)解得：10?x?20 …………2分
∵x为整数∴共有20种方案。 …………1分 （3）∵k=17>0,
∴w随着x的增大而增大。 …………1分 ∴当x=10时，w有最小值，最小值为w=17?10?200?370(元) …………1分
答：当购买一等奖10件，二等奖10件，三等奖30件时所花的费用最少，
最少为370元。 …………1分
23. (本小题满分12分) 解：(1) tan?FOB?
(2) ∵图像过原点， ∴C=0 …………1分
∵ 图像过C（t,t）点
∴?t?bt?t（0＜t＜2 ) ∴ ?t?b?1 ① 同理图像过F（2t,t）点,得 ?4t?2b?1 ② 由①②可得t= ∴y??x?22t1? …………2分 2t213 b? …………2分 223x …………1分 222?2tt (3) 由△ACF～△AOB得 ?OB22∴ OB?2t 2?t要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90° ∴只要
OEEFOEEF??或 EBEFEFEB1t 2即:BE?2t或EB?① 当BE?2t时, BO?4t,
数学试卷
2t3?4t ∴t?0(舍去)或t? …………2分
22?t1②当EB?t时,
2∴
(ⅰ)当B在E的左侧时,OB?OE?EB? ∴
3t, 22t32?t ∴t?0(舍去)或t? …………2分
32?t25(ⅱ)当B在E的右侧时,OB?OE?EB?t,
2 ∴
2t56?t ∴t?0(舍去)或t? …………2分
52?t2
2019年中考模拟试卷数学卷双向明细表