第16讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
考试 说明 考点 考查方向 考例 考查热度 三角函数的 诱导公式 考 诱导公式 的应用 ★☆☆ 情 同角三角函数 利用同角三角 分 的基本关系 函数的基本 ★☆☆ 析 关系求值 诱导公式在 诱导公式在三 三角形中的应用 角形中的应用 ★☆☆ 【重温教材】必修4 第一章 第三节， 【相关知识点回顾】 1. 同角三角函数的基本关系式 2. 平方关系 商数关系 , 2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α+k·2π(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 -sin α sin α cos α 余弦 cos α -cos α cos α sin α 正切 tan α -tan α (1)公式一~四:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的 函数值,前面加上一个把α看成 _______________时原函数值的符号,记忆规律是:函数名不变,符号看象限. (2)公式五~六:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的 函数值,前面加上一个把α看成 __________________________时原函数值的符号,记忆规律是:函数名改变,符号看象限. 常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形:
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(1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)sin α=tan αcos αα≠+kπ,k∈Z. 题组一 常识题 1.[教材改编] 已知cos α=-,且α为第三象限角,则sin α= . 2.[教材改编] 已知tan α=,则= . 3.[教材改编] 已知sin α=,则cos-+α= . 4.[教材改编] 求值:sin(-1200°)·cos 585°+cos(-660°)·sin(-1110°)= . 题组二 常错题 ◆索引:用平方关系求角时,没有考虑角的终边所在象限导致出错;在奇次式中不会灵活应用平方关系;不会运用消元的思想. 5.已知在△ABC中,=-,则cos A等于 . 6.已知sin θ+cos θ=,则sin θ-cos θ的值为 . 7.已知=5,则sin2α-sin αcos α= . 【探究点一】 三角函数的诱导公式 〖典例解析〗 例1. (1)若sin α是方程5x2-7x-6=0的根,则= ( ) A. B. C. D.
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(2)求值:sin(-1200°)cos 1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)= . 〖课堂检测〗 (1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是 ( ) A. {1,-1,2,-2} B. {-1,1} C. {2,-2} D. {1,-1,0,2,-2} (2)已知tan=,则tan= . [总结反思] (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解,转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用; (2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化,特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错. 【探究点二】 同角三角函数的基本关系 〖典例解析〗 考向1 弦切互化 例2. (1)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值为 ( ) A. B. - C. D. - (2)[2017·全国卷Ⅰ] 已知α∈,tan α=2,则cos= . 〖课堂检测〗3.已知=,x∈(0,π),则tan x等于 ( ) [总结反思] 利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化. 考向2 “1”的变换 3