第1课时 等差数列的前n项和
学 习 目 标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点). 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)． 核 心 素 养 1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养. 2.借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?
??Sn－Sn－1（n≥2），
[提示] an＝?
?S1（n＝1）.?
2．等差数列的前n项和公式
已知量 求和公式 首项、末项与项数 首项、公差与项数 n（a1＋an）Sn＝ 2n（n－1）Sn＝na1＋d 2思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ 3（a1＋a3）
[提示] S3＝＝3a2＝21.
2
1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝( ) A．230 B．420 C．450 D．540 20×19
B [S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420.]
2
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________．
n（n＋1）
2
[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋
n（n－1）
22n＋n－nn＋n×1＝＝＝
22
22
n（n＋1）
2
.]
3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________． 10（a1＋a10）
24 [由S10＝＝120.
2解得a1＋a10＝24.]
1
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________．
2
4×314×3
48 [设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，
22216×5
解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.]
22
【例1】 在等差数列{an}中， 53
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
62(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
等差数列前n项和的有关计算 [解] (1)由题意得，Sn＝
n（a1＋an）
2
＝??n?－?62?
?
2
53
＝－5，解得n＝15.
53
又a15＝＋(15－1)d＝－，
6211
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
66
8（a1＋a8）8（4＋a8）
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
22∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过
程中要注意整体思想的运用．
1．在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. 5×4??S5＝5a1＋d＝5，2[解] (1)?
??a6＝a1＋5d＝10，
解得a1＝－5，d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋
10×9
d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2
17×（a1＋a17）17×（a3＋a15）17×40
(2)S17＝＝＝＝340.
222
[探究问题] 1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？ [提示] 使用条件是n≥2.
2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2 016＋a2 017＋a2 018如何用前n项和Sn表示？ [提示] a2 016＋a2 017＋a2 018＝S2 018－S2 015.
3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？
[提示] 对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，
??S1，n＝1，
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
an与Sn的关系的应用 当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N)来表示． 【例2】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n－30n. (1)求a1及an；
(2)判断这个数列是否是等差数列．
思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．
[解] (1)因为Sn＝2n－30n，所以当n＝1时，
2
2
*
a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n－30n－[2(n－1)－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32.
(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
1．(变条件，变结论)将本例的条件“Sn＝2n－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他
2
2
2