第4讲 空间几何体的结构及其表面积和体积
1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________． [解析] S底＝6×＝48(3＋3)．
[答案] 48(3＋3)
2．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________． [解析] 当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π.故所求的表面积是32π＋8π或32π＋32π.
[答案] 32π＋8π或32π＋32π
3．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的棱长为a，则球的表面积为________． [解析] 由题意知，球的半径R＝.所以S球＝4πR＝πa.
2[答案] πa 4．以下命题：
①以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为________．
[解析] 命题①错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题②对．命题③错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．
[答案] 1
5．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在一次模具制作大赛中，小明制作了一个母线长和底面直径相等的圆锥，而小强制作了一个球，经测量得圆锥的侧面积恰好等于球的表面积，则圆锥和球的体积的比值等于________．
[解析] 设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，则圆锥的母线长为2r，高为3r.由题意可知πr×2r＝4πR，
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πr×3rV圆锥33?r?3363
即r＝2R.所以＝＝×??＝×(2)＝.
V球434?R?42
πR3
2
22
22
2
2
32
×4＝243，S侧＝6×4×6＝144，所以S全＝S侧＋2S底＝144＋4834
a22
[答案] 6 2
6．(2018·苏锡常镇四市调研)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，点E为棱CD上一点，则三棱锥E-PAB的体积为________．
11111
[解析] 因为VE-PAB＝VP-ABE＝S△ABE×PA＝×AB×AD×PA＝××2×3×4＝4.
33232[答案] 4
7．(2018·江苏省高考名校联考(四))如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥E-ADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为
V2，则V1∶V2＝________．
解析：由题意，将侧面ADD1A1作为四棱柱的底面，设顶点C到平面ADD1A1的距离为2h，因为E为棱CD的中点，所以E到平面ADD1A1的距离为h，所以V1∶V2＝VE-ADD1A1∶VBCC1B1-ADD1A11
＝S四边形ADD1A1h∶S四边形ADD1A1(2h)＝1∶6. 3
答案：1∶6
8.如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
[解析] 如图，
四棱锥的高h＝
2?2?2
1－??＝，
2?2?
1122
所以V＝Sh＝×1×＝. 3326[答案] 2 6
9．在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1
＝3，则V的最大值是________．
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[解析] 易知AC＝10.设底面△ABC的内切圆的半径为r，则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，
223439π
所以r＝2，因为2r＝4＞3，所以最大球的直径2R＝3，即R＝.此时球的体积V＝πR＝. 232
9π
[答案] 2
10．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(八))中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD、ABFE、CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．
[解析] 如图，过点A作AP⊥CD，AM⊥EF，过点B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分别为P，M，
Q，N，连结PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为×10×3＝
15.棱柱的高为8，体积V＝15×8＝120.
[答案] 120
11．一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积． [解] 上底面周长为c′＝3×8＝24 cm， 下底面周长c＝3×18＝54 cm， 斜高h′＝
1
2
?18－8?＝12 cm， 13－???2?
2
2