2017年华东师范大学研究生入学考试
数学分析考研真题
一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题6分，共36分）
1、 如果函数f?x?在闭区间?a,b?上可积，则f?x?在闭区间?a,b?至多有有限个不连续点.
2、若果数列?an?单调，且lim?an?1?an??0，则数列?an?收敛.
n??
3、 如果函数f?x,y?在处连续，偏导数fx?x0,y0?与fy?x0,y0?均存在，则f?x,y?在
?x0,y0?处可微.
4、设函数f?x?在开区间?0,1?上一致连续，则f?x?在开区间?0,1?上有界.
5、如果un?x?（n?1,2,?）在闭区间?a,b?上连续，且函数项级数?un?x?在
n?1?开区间?a,b?上一致收敛，则?un?x?在闭区间?a,b?上一致收敛.
n?1?
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6、如果含参变量积分f?x,y?dx在闭区间上?a,b?一致收敛，则在闭区间?a,b????0上处处绝对收敛.
二、求解下列各题（每小题8分，共40分） 7、求下面积分的值
??y2?xyd?
D其中D是由直线y?x，y?1，x?0围成的封闭图形.
8、求极限
1x2xnx lim?e?e???e?xx?0??n?. ?
9、设函数y?y?x?，z?z?x?由方程z?xf?x?y?和F?x,y,z??0所确定，连续可导，F具有一阶连续偏导数，求dzdx.
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f一阶10、??x2?yzdydz?y2?zxdzdx?z2?xydxdy
?其中∑为曲面z?1?x2?y2被平面z?0，z?1所截的部分，方向取下侧.
??????xn11、求级数?n?的收敛域. nnn?13???2???1
三、证明下列各题（第12-15题每小题13分，16-17题每小题11分，共74分） 12、设函数f?x?在半闭半开区间?a,???上一致连续，?x?????af?x?dx收敛，证明：
limf?x??0.
13、设函数f?x?在半闭半开区间?0,???上一致连续，对任意的x?0均有
n??limf?x?n??0，证明：?f?x?n??在闭区间?0,1?上一致收敛于0.
?a?b?14、设函数f?x?在闭区间?a,b?上二阶连续可导，且f???0，
2??M?maxx??a,b??f''?x??，证明：
?abf?x?dx?M??b?a?3. 24 第 3 页 共 4 页