圆锥曲线综合练习
x2y2例1、椭圆，一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点，弦P1P2被点P平分，求直线??1内有一点P（1，1）
32P1P2的方程。 （2x+3y-5=0）
x2y2??1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程。 备份：1.过椭圆
164 2.椭圆4x2?9y2?144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，求这弦所在直线的方程.
变式1、若椭圆ax2?by2?1与直线x?y?1交于A、B两点，且|AB|?22，又M为AB的中点，若O为坐标原
x22?点，直线OM的斜率为，求该椭圆的方程。（
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2y2?1） 3变式2、斜率为1的直线与双曲线2x?y?1相交于A、B两点，又AB中点的横坐标为1。 （1）求直线的方程 （2）求线段AB的长 （1）y=x+1 (2)AB=26
变式3、已知抛物线C：y?4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B两点。 （1）若|AB|?
变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为同的两点A，B.
（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围。
22216,求直线l的方程；（2）求|AB|的最小值 33，且经过点M?4,1?，直线l:y?x?m交椭圆于不2x2y22）例2、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y?k(x?1与椭圆C交于不
2ab同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)当△AMN得面积为10时,求k的值. 3?a?2?x2y22?c??1. 解:(1)由题意得?解得b?2.所以椭圆C的方程为?42?2a222?a?b?c?
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?y?k(x?1)?(2)由?x2y2得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?4?0.
?1???424k22k2?4设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1?k(x1?1),y2?k(x2?1),x1?x2?,x1x2?. 221?2k1?2k2(1?k2)(4?6k2)所以|MN|=(x2?x1)?(y2?y1)=(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]=. 21?2k2222）由因为点A(2,0)到直线y?k(x?1的距离d?|k|1?2k2,
|k|4?6k2101|k|4?6k2?所以△AMN的面积为S?|MN|?d?. 由,解得k??1. 221?2k321?2kx2y2变式1、错误！未指定书签。已知F1F2分别是椭圆C:2+2=1(a?b?0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶
ab点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,?F1AF2?60?.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率; (Ⅱ)已知?AF1B面积为403,求a,b 的值
?【解析】(I)?F1AF2?60?a?2c?e?c1? a2(Ⅱ)设BF2?m;则BF1?2a?m
?在?BF1F2中,BF1?BF2?F1F2?2BF2?F1F2?cos120
2223?(2a?m)2?m2?a2?am?m?a [来源:学|科|网Z|X|X|K]
51133?AF1B面积S??F2F1?AB?sin60???a?(a?a)??403?a?10,c?5,b?53 2252变式2、已知抛物线C：y?2x，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使NANB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
22x12)，B(x2，2x22)，把y?kx?2代入y?2x2得2x2?kx?2?0， 解、（Ⅰ）如图，设A(x1，由韦达定理得x1?x2?k，x1x2??1， 2y M A
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2 B 1 N O 1 x ?kk2?x1?x2k?，?N点的坐标为?，?． ?xN?xM?24?48?k2k???m?x??， 设抛物线在点N处的切线l的方程为y?84??mkk2??0， 将y?2x代入上式得2x?mx?4822直线l与抛物线C相切，
?mkk2????m?8????m2?2mk?k2?(m?k)2?0，?m?k．
8??42即l∥AB．
（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB?0，则NA?NB，又
M是AB的中点，
1?|MN|?|AB|．
2111由（Ⅰ）知yM?(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4]
222?k21?k2???4???2． 2?2?4k2k2k2?16． MN?x轴，?|MN|?|yM?yN|??2??488又|AB|?1?k|x1?x2|?1?k222(x1?x2)2?4x1x2 ?1?k212?k??4?(?1)?k?1??22??k2?16．
k2?1612??k?1k2?16，解得k??2．
84即存在k??2，使NANB?0．
例3、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0)。
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：y?kx?2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA?OB?2(其中O为原点)，求k的取值范围。
x2y2解：（Ⅰ）设双曲线方程为2?2?1 (a?0,b?0).由已知得a?3,c?2,再由a2?b2?22,得b2?1.故双
ab
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