求二次函数解析式的四种基本方法
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax+bx+c (a≠0)。
2、顶点式：y=a(x－h)+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x－x1)(x－x2)+m (a≠0)
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m)(x2、m),则设成： y=a(x－x1)(x－x2)+m (a≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点(?1,?5),(0,?4)和(1,1)．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c (a≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c (a≠0)
2222?a?b?c??5?a?2??依题意得：?c??4 解这个方程组得：?b?3
?a?b?c?1?c??4??∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4。
例2、已知抛物线y?ax2?bx?c的顶点坐标为(4,?1)，与y轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式。
2分析：此题给出抛物线y?ax?bx?c的顶点坐标为(4,?1)，最好抛开题目给出的
2y?ax2?bx?c，重新设顶点式y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)－1 (a≠0) 又抛物线与y轴交于点(0,3)。
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1 41122∴这个二次函数的解析式为y=(x－4)－1，即y=x－2x+3。
44∴a(0－4)－1=3 ∴a=
2例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C（0、4）。
求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。
分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x1)(x－x) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。2
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)
例4、 已知函数y=x2+kx－3（k>0),图象的顶点为C并与x轴相交于两点A、B且AB=4 （1）求实数k的值；（2）若P为上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABC=S△ABP成立的点P的坐标。
变式练习，创新发现
1、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）
2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1)，与y轴交于点(0,5)，求这条抛物线的解析式。
2、已知二次函数y
3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。
24、已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是________。
?ax2?bx?c的图象的顶点为（1，?2），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。
95、已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式
26、已知二次函数y?(m?1)x?2mx?(3m?2)(m≠1)的最大值是零，求此函数的解析式。
7. 已知某抛物线是由抛物线y=x-x-2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。
9、已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。
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