2019-2020年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题
抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。
一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有：
（1）、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：
SΔ=|x1-x2|·||=··||
（2）、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：
SΔ=·|x1-x2|·|c|＝··|c|
（3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。
二、 1．求内接于抛物线的三角形面积。
例1．已知抛物线的顶点C（2，
），它与x轴两交点A、B的横坐标是方
程x2-4x+3=0的两根，求ΔABC的面积。 解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3, ∴ AB=|x2-x1|=|3-1|=2. ∴ SΔABC=
例2．已知二次函数y=
x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于
×2×
=
.
D点，顶点为C，求四边形ACBD的面积。
解：如图1，S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD
=××||+××|2|=
例3．如图：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B，抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。
.
解：由
得点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的坐标为
（0，3）如图2，由A、B、C三点的坐标可知，AB=BC=
＝3
，AC=
＝
。
＝2
，
∵ AC2+BC2=AB2，
∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900， ∴ SΔABC=
AC·BC=
×
×3
=3。
2．求抛物线的解析式
例4．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，其对称轴为直线x=-2，顶点为M，且SΔAMB=8，求它的解析式。
解：∵ 对称轴为直线x=-2, ∴ -=-2, ∴ b=4,
∴ y=x2+4x+c,
∵ SΔAMB=··||=·||=8，
∴ c=0, ∴ y=x2+4x.
例5．设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=20，
∠ACB=90°，SΔACB=150，求二次函数的解析式。
解：如图3，∵ SΔACB=AC·BC，
即150= ∴ AB=
×20·BC， ∴ BC=15，
=
=25， AB·OC
又∵ OC⊥AB， ∴ SΔACB=
即150=×25·OC，∴ OC=12，故C点坐标为（0，12），
∴ AO==16，OB=AB-AO=25-16=9， ∴ 点A为（-16，0），点B为（9，0）， ∵ 二次函数的图像过A、B、C三点，
∴ 解得x2-
，
∴ 所求解析式为：y=-x+12.
3．求抛物线解析式中字母系数的值。
例6．已知抛物线y=x2-mx+m-2,
(1)求证：不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点； (2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4
解：
(1)Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 不论m为何实数，抛物线与x轴总有两个交点。
，求m的值。
(2)SΔ=··|c|=··|m-2|=4.
即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0
解得 m=6或m=-2.