2019-2020年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题

2019-2020年中考数学抛物线与三角形面积专题复习题

抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识,有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。

一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c的三角形面积的一般情况有:

(1)、以抛物线与x轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形,其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离,高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为:

SΔ=|x1-x2|·||=··||

(2)、以抛物线与x轴、y轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与x轴两交点间的距离,高的长是抛物线与y轴上的截距(原点与y轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为:

SΔ=·|x1-x2|·|c|=··|c|

(3)、三角形三个顶点在抛物线其他位置时,应根据图形的具体特征,灵活运用几何和代数的有关知识。

二、 1.求内接于抛物线的三角形面积。

例1.已知抛物线的顶点C(2,

),它与x轴两交点A、B的横坐标是方

程x2-4x+3=0的两根,求ΔABC的面积。 解:由方程x2-4x+3=0,得x1=1, x2=3, ∴ AB=|x2-x1|=|3-1|=2. ∴ SΔABC=

例2.已知二次函数y=

x2+3x+2的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于

×2×

=

.

D点,顶点为C,求四边形ACBD的面积。

解:如图1,S四边形ACBD=SΔABC+SΔABD

=××||+××|2|=

例3.如图:已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B,抛物线与y轴相交于C点,求ΔABC的面积。

.

解:由

得点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,6);抛物线与y轴交点C的坐标为

(0,3)如图2,由A、B、C三点的坐标可知,AB=BC=

=3

,AC=

=2

∵ AC2+BC2=AB2,

∴ ΔABC为直角三角形,并且∠BCA=900, ∴ SΔABC=

AC·BC=

×

×3

=3。

2.求抛物线的解析式

例4.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B,其对称轴为直线x=-2,顶点为M,且SΔAMB=8,求它的解析式。

解:∵ 对称轴为直线x=-2, ∴ -=-2, ∴ b=4,

∴ y=x2+4x+c,

∵ SΔAMB=··||=·||=8,

∴ c=0, ∴ y=x2+4x.

例5.设二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,若AC=20,

∠ACB=90°,SΔACB=150,求二次函数的解析式。

解:如图3,∵ SΔACB=AC·BC,

即150= ∴ AB=

×20·BC, ∴ BC=15,

=

=25, AB·OC

又∵ OC⊥AB, ∴ SΔACB=

即150=×25·OC,∴ OC=12,故C点坐标为(0,12),

∴ AO==16,OB=AB-AO=25-16=9, ∴ 点A为(-16,0),点B为(9,0), ∵ 二次函数的图像过A、B、C三点,

∴ 解得x2-

∴ 所求解析式为:y=-x+12.

3.求抛物线解析式中字母系数的值。

例6.已知抛物线y=x2-mx+m-2,

(1)求证:不论m为何实数,抛物线与x轴总有两个交点; (2)若以抛物线与x轴、y轴三交点为顶点的三角形面积为4

解:

(1)Δ=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4>0, ∴ 不论m为何实数,抛物线与x轴总有两个交点。

,求m的值。

(2)SΔ=··|c|=··|m-2|=4.

即 (m-2)4+4(m-2)2-320=0

解得 m=6或m=-2.

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