第七节正弦定理和余弦定理
[知识能否忆起]
1.正弦定理
分类 定理 内容 abc===2R(R是△ABC外接圆的半径) sin Asin Bsin C①a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C, 变形 公式 ②sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c, ③sin A=abc,sin B=,sin C= 2R2R2R解决的 问题
2.余弦定理
分类 ①已知两角和任一边,求其他两边和另一角, ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 内容 在△ABC中,有a=b+c-2bccos_A; b=a+c-2accos_B;c=a+b-2abcos_C b+c-aa+c-bcos A=;cos B=; 2bc2aca+b-ccos C= 2ab①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 222222222222222222定理 变形 公式 解决的 问题
3.三角形中常用的面积公式 1
(1)S=ah(h表示边a上的高);
2111
(2)S=bcsin A=acsin B=absin C;
2221
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
2
[小题能否全取]
1.(2018·广东高考)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=32,则AC=( )
A.43 C.3
B.23 D.3 2
解析:选B 由正弦定理得:
BCAC32AC322
=,即=,所以AC=×=23. sin Asin Bsin 60°sin 45°23
2
2.在△ABC中,a=3,b=1,c=2,则A等于( ) A.30° C.60°
2
2
B.45° D.75°
2
b+c-a1+4-31
解析:选C ∵cos A===,
3.(教材习题改编)在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( ) A.无解
B.两解
D.解的个数不确定
C.一解
ab
解析:选B ∵=,
sin Asin Bb24
∴sin B=sin A=sin 45°,
a18∴sin B=
22
. 3
又∵a
π
4.(2018·陕西高考)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=,c=23,则b
6=________.
解析:由余弦定理得b=a+c-2accos B=4+12-2×2×23×答案:2
5.△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为________. 解析:设BC=x,由余弦定理得49=25+x-10xcos 120°, 整理得x+5x-24=0,即x=3.
113153
因此S△ABC=AB×BC×sin B=×3×5×=.
2224答案:
(1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B.
(2)在△ABC中,已知a、b和A时,