第七节正弦定理和余弦定理
[知识能否忆起]
1．正弦定理
分类 定理 内容 abc＝＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径) sin Asin Bsin C①a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C， 变形 公式 ②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c， ③sin A＝abc，sin B＝，sin C＝ 2R2R2R解决的 问题
2．余弦定理
分类 ①已知两角和任一边，求其他两边和另一角， ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 内容 在△ABC中，有a＝b＋c－2bccos_A； b＝a＋c－2accos_B；c＝a＋b－2abcos_C b＋c－aa＋c－bcos A＝；cos B＝； 2bc2aca＋b－ccos C＝ 2ab①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 222222222222222222定理 变形 公式 解决的 问题
3．三角形中常用的面积公式 1
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
2111
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
2221
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2
[小题能否全取]
1．(2018·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )
A．43 C.3
B．23 D.3 2
解析：选B 由正弦定理得：
BCAC32AC322
＝，即＝，所以AC＝×＝23. sin Asin Bsin 60°sin 45°23
2
2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( ) A．30° C．60°
2
2
B．45° D．75°
2
b＋c－a1＋4－31
解析：选C ∵cos A＝＝＝，
2bc2×1×22又∵0° 3．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( ) A．无解 B．两解 D．解的个数不确定 C．一解 ab 解析：选B ∵＝， sin Asin Bb24 ∴sin B＝sin A＝sin 45°， a18∴sin B＝ 22 . 3 又∵a π 4．(2018·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝23，则b 6＝________. 解析：由余弦定理得b＝a＋c－2accos B＝4＋12－2×2×23×答案：2 5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________． 解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x－10xcos 120°， 整理得x＋5x－24＝0，即x＝3. 113153 因此S△ABC＝AB×BC×sin B＝×3×5×＝. 2224答案： (1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B. (2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： 153 4 2 2 2 2 2 3 ＝4，所以b＝2. 2 A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 bsin A 利用正弦、余弦定理解三角形 典题导入 [例1] (2018·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [自主解答] (1)由bsin A＝3acos B及正弦定理 ab ＝，得sin B＝3cos B， sin Asin B π 所以tan B＝3，所以B＝. 3(2)由sin C＝2sin A及 2 ac ＝，得c＝2a. sin Asin C 2 2 由b＝3及余弦定理b＝a＋c－2accos B， 得9＝a＋c－ac. 所以a＝3，c＝23. 在本例(2)的条件下，试求角A的大小． 解：∵ ab ＝， sin Asin Basin B ＝b 3·sin3 π31＝. 2 2 2 ∴sin A＝π∴A＝. 6