2019届高考数学一轮复习:《正弦定理和余弦定理》教学案(含解析)

第七节正弦定理和余弦定理

[知识能否忆起]

1.正弦定理

分类 定理 内容 abc===2R(R是△ABC外接圆的半径) sin Asin Bsin C①a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C, 变形 公式 ②sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c, ③sin A=abc,sin B=,sin C= 2R2R2R解决的 问题

2.余弦定理

分类 ①已知两角和任一边,求其他两边和另一角, ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 内容 在△ABC中,有a=b+c-2bccos_A; b=a+c-2accos_B;c=a+b-2abcos_C b+c-aa+c-bcos A=;cos B=; 2bc2aca+b-ccos C= 2ab①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 222222222222222222定理 变形 公式 解决的 问题

3.三角形中常用的面积公式 1

(1)S=ah(h表示边a上的高);

2111

(2)S=bcsin A=acsin B=absin C;

2221

(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

2

[小题能否全取]

1.(2018·广东高考)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=32,则AC=( )

A.43 C.3

B.23 D.3 2

解析:选B 由正弦定理得:

BCAC32AC322

=,即=,所以AC=×=23. sin Asin Bsin 60°sin 45°23

2

2.在△ABC中,a=3,b=1,c=2,则A等于( ) A.30° C.60°

2

2

B.45° D.75°

2

b+c-a1+4-31

解析:选C ∵cos A===,

2bc2×1×22又∵0°

3.(教材习题改编)在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( ) A.无解

B.两解

D.解的个数不确定

C.一解

ab

解析:选B ∵=,

sin Asin Bb24

∴sin B=sin A=sin 45°,

a18∴sin B=

22

. 3

又∵a

π

4.(2018·陕西高考)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=,c=23,则b

6=________.

解析:由余弦定理得b=a+c-2accos B=4+12-2×2×23×答案:2

5.△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为________. 解析:设BC=x,由余弦定理得49=25+x-10xcos 120°, 整理得x+5x-24=0,即x=3.

113153

因此S△ABC=AB×BC×sin B=×3×5×=.

2224答案:

(1)在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B.

(2)在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下: 153 4

2

2

2

2

2

3

=4,所以b=2. 2

A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 解的个数

a=bsin A 一解 bsin Ab 两解 一解 一解

利用正弦、余弦定理解三角形

典题导入

[例1] (2018·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=3acos B. (1)求角B的大小;

(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值. [自主解答] (1)由bsin A=3acos B及正弦定理 ab

=,得sin B=3cos B, sin Asin B

π

所以tan B=3,所以B=. 3(2)由sin C=2sin A及

2

ac

=,得c=2a. sin Asin C

2

2

由b=3及余弦定理b=a+c-2accos B, 得9=a+c-ac. 所以a=3,c=23.

在本例(2)的条件下,试求角A的大小. 解:∵

ab

=, sin Asin Basin B

=b

3·sin3

π31=. 2

2

2

∴sin A=π∴A=. 6

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