高考解答题专项训练(三) 数列
1．(2019·咸阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，三边a，b，c成等比数列，且面积为43，在等差数列{an}中，a1＝4，公差为b.
(1)求数列{an}的通项公式；
16(2)数列{cn}满足cn＝，设Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn.
anan＋1解：(1)由a，b，c成等比数列得b2＝ac， 1
因为S△ABC＝43＝2acsinB，所以b＝4，
所以{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列， 其通项公式为an＝4n.
111
(2)由(1)可得cn＝＝－，
n?n＋1?nn＋1
?11?1??11??1n－??????Tn＝1－2＋2－3＋…＋nn＋1＝1－＝. ????n＋1n＋1??
2．(2019·安徽淮南一模)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9，数列{bn}21
的前n项和为Sn＝3bn＋3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝an|bn|，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)∵数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9， a5－a39－5∴d＝＝2＝2，
5－3∴a1＝a3－2d＝5－4＝1， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
21
∵数列{bn}的前n项和为Sn＝3bn＋3， 21
∴n＝1时，S1＝3b1＋3， 由S1＝b1，解得b1＝1，
22
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝3bn－3bn－1，
∴bn＝－2bn－1，∴{bn}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴bn＝(－2)n－1. (2)cn＝an|bn|＝(2n－1)·2n－1，
∴数列{cn}的前n项和Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1， ∴2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n， 两式相减，得：
n
2－2
－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝1＋2×－(2n－1)·2n＝1＋2n＋
1－21
－4－(2n－1)·2n＝－3＋(3－2n)·2n，
∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.
3．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1
4n
，求数列{bn}的前n项和Tn. anan＋1
2×1
解：(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×2＝2a1＋2， 4×3
S4＝4a1＋2×2＝4a1＋12， 所以由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)＝(－1)＝(－1)
n－1n－1
4n
anan＋1
4n
?2n－1??2n＋1?
?11?
＋??. 2n－12n＋1??
n－1
当n为偶数时，
?11??11?1??11??1
＋＋Tn＝?1＋3?－?3＋5?＋…＋?2n－32n－1?－?2n－12n＋1?＝1－＝
????2n＋1????
2n. 2n＋1
当n为奇数时，
?11??11?1??11??1
＋＋Tn＝?1＋3?－?3＋5?＋…－?2n－32n－1?＋?2n－12n＋1?＝1＋＝
????2n＋1????
2n＋2. 2n＋1
?所以T＝?2n
?2n＋1，n为偶数.
n*
2n＋2
，n为奇数，2n＋1
?2n＋1＋?－1?n－1??或Tn＝?
2n＋1??
4．(2019·烟台模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)
?1?
＝2n，n∈N，数列{an}满足＝f′?a?，且a1＝4.
?n?an＋1
1
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)f′(x)＝2ax＋b， 由题意知b＝2n,16n2a－4nb＝0， 112
∴a＝2，则f(x)＝2x＋2nx，n∈N*.
?1?
数列{an}满足＝f′?a?，
?n?an＋1
1
又f′(x)＝x＋2n， ∴
111
＝a＋2n，∴－a＝2n， an＋1nan＋1n1
11
由叠加法可得a－4＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，
n4
化简可得an＝(n≥2)，
?2n－1?2当n＝1时，a1＝4也符合， 4*
∴an＝2(n∈N)． ?2n－1?
?11?4
－?， (2)∵bn＝anan＋1＝＝2?
?2n－1??2n＋1??2n－12n＋1?
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1
???11??1??11?
＝2??1－3?＋?3－5?＋…＋?2n－1－2n＋1??
?????????1?4n1－??＝22n＋1?＝2n＋1. ?