一． (45分)综合题
1. (3分) 试举出分别满足以下各条件的群的例子：
1）G是无限群，除去单位元外，每个元素的周期都为0； eg: 整数加法群
2）G是无限群，G中每个元素的周期都有限；
eg: {xn－1=0 在复数域的所有根, 其中n = 1,2,3……}，复数乘法 3）G是无限群，G中除单位元外，既有周期有限的元素，也有周期为0的元素。
eg: 非零实数乘法群； 每个例子1分
2. (2分)任意的群G中，方程 x2 = x 有几个解？ 一个
3. (2分)指数是2的子群是否一定是正规子群？ 是
4. (4分)试求四次对称群S4关于Klein四元群 H = {(1), (1 2) (3 4), (1
3)(2 4), (1 4)(2 3)} 的指数，并写出包含(1 3)的H的左陪集和包含(1 2)的H的右陪集。 6(2分)；{(1 3), (1 4 3 2), (2 4), (1 2 3 4)}; {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)} 这两个每个1分
5. (2分)具有如下定义的代数系统(G,*), C 不是群。
A. G={1,10}，*是模11的乘法； B. G={1,3,4,5,9}，*是模11的乘法； C. G=Q，*是普通的乘法； D. G=Q，*是普通的加法。
答案C
6. (2分)任何一个具有多个等幂元的半群，它 A 。
A. 不能构成群；B. 不一定构成群；C. 必能构成群；D. 能构成交
换群。
答案A
7. (2分)设G={1,5,7,11}，(G,*)为群，其中*为模12的乘法，则7的周
期为多少？(G,*)有几个真子群？ 2；4
8. (1分)确定n次置换
σ＝ 1 2 … n – 1 n
n n - 1 … 2 1 的奇偶性。
n = 4k, 4k+1 时σ为偶置换，n = 4k+2, 4k+3 时为σ奇置换。 或者，σ的奇偶性与 └n/2┘相同 ――n/2取地板运算 只答奇置换或偶置换不得分
9. (3分)写出I/18I的所有理想。
{0}; {0, 9};{0, 6, 12}; {0, 3, 6, 9, 12, 15};{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}; {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17};
共6个，写对n个时，得┌n/2┐分 ――n/2取天棚运算 写错时不扣分或者扣1分 10. (2分)R11中4/5等于多少？ 3
11. (3分)循环群是否一定是交换群？G1是3元群，G1是否一定是交换
群？G2是6元群，G2是否一定是交换群？ 是； 是； 不是（或 不一定） 每个1分 12. (2分)无零因子的有限环是否一定是体？ 不是（或 不一定）
13. (2分)设a,b是群G的元素，a的周期为2，b的周期为3，且ab=ba，问ab的周期是多少？ 6
14. (2分)写出第72个分圆多项式。 x24－x12＋1
15. (2分)写出GF(64)的全部子域。 R2, GF(4), GF(8), GF(64)
16. (2分)设B是8元布尔代数，B有多少个子代数？ 5
17. (3分)给出所有的5元格（画出Hasse 图即可），并说明哪些是模格，
哪些是分配格，哪些是有余格。
五个点 构成的 链
(1) (2) (3) (4) (5) (1) 有余格
(2) 模格，有余格 (3) 模格， 分配格 (4) 模格， 分配格 (5) 模格， 分配格
全对得3分，酌情给1分或2分
543
18. (2分) 在R5中用综合除法计算多项式x+2除3x-2x+4x-5x+1的
商式和余式。
商式 3x+2x 余式 1
19. (4分)写出布尔代数的Huntington公理。
H1：a·b = b·a，a+b = b+a. H2：a·(b+c)=(a·b)+(a·c), a+(b·c)=(a+b)·(a+c)。 H3：B中有元素0和元素1,使得对任意a∈B,有 a·1 = a, a+0 = a。
H4： 对任意a∈B，有 a’ ∈B，使得 a·a’ = 0, a+a’ = 1。 每条1分。
二． (7分)令M是除去0，1以外的全体实数作成的集合，G为M的以下
六个变换作成的集合：
σ1(x) = x , σ2(x) = 1/x , σ3(x) = 1－x , σ4(x) = 1/(1－x) , σ5(x) = (x－1)/x, σ6(x) = x/(x－1).
G在变换的乘法下是否作成群？如果不是，请给出原因，若是，给出以上每个元素的逆元。 是群。（不必证明） (5分) 回答不是群的，一律给1分。 σ4(x) 和σ5(x)互为逆，其余的逆均是自身。
三．(5分)环R中，若乘法满足等幂律，证明：若|R| > 2，则R不是整区。
证明：反证法。假设R是整环，则R无零因子。
因为|R| > 2，故R中有互异的元素a, b(均不为0)。由a2 =a得 (a2-a)b = a(ab-b) = 0
因R是整区，无零因子，a不为0，于是由上得 ab – b = 0; ab – b2 = 0, (a-b)b = 0
但b不为0，于是有a =b, 矛盾。因此，R不是整区。 证毕。
四．(8分)设(R*, ×)是一切非零实数在数的乘法下作成的群，(R, +)是实数
加法群，证明二者不可能同构。 证明：用反证法。假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有σ：1 ? 0， -1 ? a， a ≠ 0。从而， σ(1)=σ((-1)·(-1)) =σ(-1)+σ(-1)=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a ≠ 0矛盾。故，原假设不对，（R*，·）与（R，+）不可能同构。 （酌情给分）
五．(10分)已知在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同，证明
其周期或为0或为质数。
证明：设a∈R，a≠0，且a的周期为n，故 na = 0。
(1) 若n=0，则得证。 （得5分） (2) 否则，只需证n是质数。
用反证法。设n不是质数，则n = n1n2， 且n1≠1，
n2≠1。故1 43