高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 an?1?an?f(n)
解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列?an?满足a1?11，an?1?an?2，求an。 2n?nK
变式: 已知数列{an}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1), a2k+1=a2k+3, 其中k=1,2,3,…….
k
（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式. 类型2 an?1?f(n)an 解法：把原递推公式转化为例1:已知数列?an?满足a1?例2:已知a1?3，an?1an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an2n，an?1?an，求an。 3n?13n?1?an (n?1)，求an。 3n?2an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，
(n≥2)，则{an}的通项an??n?1?1
?___n?2类型3 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an. 变式:（2006，重庆,文,14）
在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）
*已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N).
q，再利用1?p（I）求数列?an?的通项公式；
1
（II）若数列{bn}滿足414（Ⅲ）证明：
b?1b2?1L4bn?1?(an?1)bn(n?N*),证明：数列{bn}是等差数列；
an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12n类型4 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 （或
an?1?pan?rqn,其中p，q, r均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：
an?1pan1???引入辅助数列qn?1qqnq?bn?（其中bn?annq），得：bn?1?p1bn?再待定系数法解决。 qq例:已知数列?an?中，a1?511n?1,an?1?an?()，求an。 632412gg an??2n?1?，n?1,2,3,g333变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列?an?的前n项的和Sn?n32n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,ggg，证明：?Ti?
2Sni?1类型5 递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 其中s，t满足??s?t?p
?st??q解法二(特征根法)：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程x?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x22n?1n?1时，数列?an?的通项为an?Ax1?Bx2，其中A，B由a1??,a2??决定（即把n?1n?1a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?Ax1?Bx2，得到关于A、B的方程组）；当x1?x2时，n?1数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2n?1和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1，得到关于A、B的方程组）。
2
解法一（待定系数——迭加法）:
数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。
例:已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?变式:
*1.已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N).
21an?1?an，求an。 33（I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（II）求数列?an?的通项公式； （III）若数列?bn?满足414b?1b2?1...4bn?1?(an?1)bn(n?N*),证明?bn?是等差数列
2.已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?21an?1?an，求an 333.已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,L),a1?1， ⑴设数列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列； ⑵设数列cn?及前n项和。
类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an)) 解
法
：
这
种
类
型
一
般
利
用
an,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列；⑶求数列?an?的通项公式n2?S1????????????????(n?1)an???Sn?Sn?1???????(n?2)与
an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn (n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。
例：已知数列?an?前n项和Sn?4?an?12n?2.
（1）求an?1与an的关系；（2）求通项公式an.
n（2）应用类型4（an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)））的方
法，上式两边同乘以2由a1?S1?4?a1?n?1得：2n?1an?1?2nan?2
1?a1?1.于是数列?2nan?是以2为首项，2为公差的等差数列，1?22nn所以2an?2?2(n?1)?2n?an?n?1
2变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)
2
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}
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